2575

сила достигает так называемого критического значения, определяемого по

формуле Эйлера:

Из формулы видно, что критическая сила обратно пропорциональна квадрату длины стержня. Чем длиннее стержень, тем меньше величина критической силы. Существенное влияние на изменение величины критической силы оказывают способы заделки концов сжимаемого стержня. Чаще всего концы стержня закрепляют одним из четырёх способов (рис. 4.10), для которых оказалось весьма удобным использовать обобщённую формулу Эйлера для определения критической силы

где µ – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления концов стержня, µ l=l0 является приведённой длиной стержня.

Рис. 4.10. Связи и приведённая длина стержня в расчётной схеме

Как видно из формулы (4.19), чем меньше µ, тем больше критическая сила, а следовательно, и запускаемая нагрузка на стержень. Например,

ной длины стержня меняется и величина возникающих критических напряжений в сечениях сжимаемого стержня:

100

Формула Эйлера применима не только к длинным и тонким колоннам, стержням плоских и пространственных стержневых систем (формам и структурам) сплошного и пустотелого сечения, но и к тонким панелям и пластинам несущих конструкций зданий.

Говоря о прочности, мы обычно имеем в виду прочность на разрыв и сжатие, хотя материалы чаще работают на сжатие, чем на растяжение. Казалось бы, если мы пытаемся сжать материал и прижать атомы один к другому, это не должно вызвать разрушения. Однако разрушение происходит, хотя и представляет собой явление более сложное, чем разрыв. В данном случае полезно рассмотреть особенности работы и прочности несущих стен из мелкоштучных материалов, в частности кирпичных.

Совершенно ясно, что устойчивость здания определяется не столько прочностью каменной кладки, сколько распределением их веса и полезных нагрузок. Одно дело понимать это и совсем другое – конкретно представлять всё в деталях и уметь определять, будет ли здание безопасным. Чтобы достичь научного понимания того, как ведёт себя каменная кладка, её необходимо рассматривать как упругий материал, учитывая, что материал камня деформируется под нагрузкой и что он подчиняется закону Гука, т. е. тут не обойдёшься без использования понятий напряжения и деформаций.

На первый взгляд кажется невероятным, что кирпич и камень могут деформироваться в заметной степени под действием нагрузки, создаваемой зданием. Однако в действительности модуль упругости для кирпича и камня не очень велик, например, для стали E = 2,06 105 МПа, для кирпича не превышает 14 103 МПа, поэтому упругие перемещения (деформации) каменной кладки не так малы, как можно было бы предугадать. Даже стены одноэтажного дома по вертикали сжаты собственным весом примерно на миллиметр.

Современный расчёт каменной кладки основан на законе Гука, а также на следующих четырёх допущениях, которые оказываются справедливыми на практике [19]:

•сжимающие напряжения столь малы, что материал не может разрушаться за счёт сжатия (мы уже обсуждали этот вопрос);

•благодаря использованию строительного раствора, соединения выполняются достаточно тщательно, так что силы сжатия действуют по всей площади соединения, а не в нескольких выступающих точках;

•трение в соединениях столь велико, что не может произойти разрушения конструкции вследствие взаимного проскальзывания кирпичей или камней (на самом деле никаких проскальзываний до разрушения конструкции не происходит);

101

•соединения не обладают сколько-нибудь заметной прочностью на растяжение; даже если случайным образом раствор обладает некоторой прочностью на разрыв, на неё нельзя полагаться и ею следует пренебречь.

Таким образом, значение строительного раствора состоит не в том, чтобы «склеивать» кирпичи или камни, а в том, чтобы сжимающие нагрузки передавались через соединение более равномерно.

Осуществим упрощённое рассмотрение работы удельного по длине участка кирпичной кладки под действием вертикальной сжимающей нагрузки P (рис. 4.12). До тех пор, пока нагрузка P действует вертикально вниз в плоскости симметрии, т.е. посредине стены, кладка будет сжата равномерно и, согласно Гуку, соответствующее распределение сжимающих напряжений по толщине стены также будет равномерным (рис. 4.12,а).

Рис. 4.12. Нагрузка Р на кирпичную стену и реакция последней на эту нагрузку

Предположим, что вертикальная нагрузка P немного сместилась в сторону от середины стены. В этом случае сжимающее напряжение не будет постоянным вдоль её сечения. Для того чтобы уравновесить действующую нагрузку, оно должно быть с одной стороны больше, чем с другой. Если материал подчиняется закону Гука, то напряжения по толщине стены будут изменяться линейно, как показано на рис. 4.12.б. Пока что соединению ничто не угрожает: по сечению n-m действуют только сжимающие напряжения. Однако если приложение нагрузки сместится ещё дальше от середины стены – на границу так называемой средней трети стены, то возникает ситуация, изображённая на рис. 4.12,в, в которой эпюра распределений напряжений имеет треугольную форму и сжимающее напряжение на одном из краев стены обращается в нуль. Само по себе это пока ещё не опасно, но очевидно, что если нагрузка сместится ещё немного к краю, то возникнет ситуация, изображённая на рис. 4.12,г.

Сжимающее напряжение вблизи одной из поверхностей стены теперь сменилось на растягивающее напряжение. Обычно она и в самом деле не выдерживает, в соединении возникает трещина, и вся нагрузка будет распределяться по площади, соответствующей отрезку n-с, т. е. эффективная толщина стены уменьшится с неизбежным ростом напряжений. Конечно, если стена трескается, этого лучше не допускать. Однако такая трещина

102

ещё не означает, что стена непременно рухнет. Весьма вероятно, что края трещины несколько разойдутся, но стена останется стоять, покоясь на той части соединения, где контакт не нарушен (рис. 4.12,д). Всё это не сулит спокойной жизни, и наступит день, когда линия действия силы окажется в пределах плоскости стены, нетрудно догадаться, что произойдёт её опрокидывание с поворотом в точке n (рис. 4.12,е).

1

Iв)

II 2

III

4

д)

5

6

Рис.4.13. Схема строения и особенности реакции позвоночного столба (п.с.) на внешние воздействия: а – синусоидальный профиль (п.с.); 1 – позвонок атлант; 2 – шестой шейный позвонок; 3 – девятый грудной позвонок; 4 – пояснично-крестцовое сочленение; б – п.с. в сагиттальной плоскости; I – шейный отдел (7 позвонков); II – грудной отдел (12 позвонков); III – поясничный отдел (5 позвонков); IV – крестец (5 сросшихся позвонков); V – копчик (3-5 сросшихся позвонков); в – работа п.с. в грудном отделе с равномерным обжатием хрящевых прокладок; г – работа п.с. в поясничном отделе при изгибе с неравномерным обжатием хрящевых прокладок; д – вид сверху и сбоку поясничного позвонка; 1 – чичевидное тело и 2 – отверстие в позвонке; е – характер влия-

ния сгибания и разгибания п.с. на формы фигуры человека

Представляет интерес особая аналогия стержня, работающего на сжатие, и позвоночного столба человека.

1. Скелет как несущий каркас человека состоит из следующих конструктивных элементов: черепа, позвоночного столба, грудной клетки и двух пар конечностей.

Он представляет собой пространственную структуру из пространственных, плоских и стержневых конструктивных элементов, объединенных

103

между собой шарнирно или, как правило, шарнирно-податливыми суста- вами-шарнирами и связями. В этой конструктивной структуре особый интерес представляет позвоночный столб как многофункциональная конст- руктивно-технологическая система. Позвоночный столб объединяет в совместной работе объемную структуру грудной клетки и плечевого пояса со структурой тазобедренного пояса.

Он состоит из 32–34 позвонков, между телами которых находятся хрящевые диски, как упругие прокладки, придающие гибкость позвоночнику. Кроме того, позвонки соединены между собой суставами и крепкими соединительно-тканевыми связками (рис. 4.13). Если вертикальные стержневые строительные элементы (стойки, колонны, столбы и т. п.), как правило, прямолинейные до их загружения, то позвоночный столб человека в сагиттальной (срединной) его плоскости имеет четыре полуволны синусоиды (рис. 4.13,а,б). В данном случае упругие промежутки между позвоночниками и заданная искривленность позвоночного столба позволяют без каких-либо последствий воспринимать и переносить неизбежные динамические воздействия. Нормальные напряжения вертикально нагруженного столба, несмотря на синусоидальный изгиб, в каждом стыке позвонков должны оставаться равномерными (рис. 4.13,в).

2. Однако в случае подъема тяжести с уровня земли или их переноски при согнутой спине, т.е. нарушения естественного профиля позвоночного столба и передачи нагрузки с эксцентриситетом, нарушается равномерность распределения напряжений в стыке позвонков (рис. 4.13,г). Это, как правило, приводит к непоправимым последствиям: смятию хрящевых дисков и даже защемлению сосудов спинного мозга, проходящих через тело позвоночного столба.

104

в состоянии искривлённого позвоночника (рис. 4.13,г) с опиранием грудной клетки на тазовый объём (живота), как мягкий футбольный мяч, вызывает нарушение осанки, появление сутулости и развитие живота.

Рис. 4.15. Структура мышц и сухожилий в обеспечение заданной устойчивости и жесткости туловища человека: а – глубинные мышцы спины; 1 – крестцово-остистая мышца; 2 – задняя нижняя зубчатая мышца; 3 – задняя верхняя зубчатая мышца; 4 – длиннейшая мышца спины; 5 – ременная мышца; 6 – полуостистая мышца; б – поверхностные мышцы спины; 7 – мышцы плечевого пояса; 8 – трапециевидная мышца; 9 – широчайшая мышца спины; 10 – ромбовидная мышца; 11 – наружная косая мышца живота; 12 – мышцы тазового пояса; в – поверхностные мышцы груди и живота; 13 – большая мышца груди; 14 – мышцы плечевого пояса; 15 – передняя зубчатая мышца; 16 – прямая мышца живота; 17 – наружная косая мышца живота; 18 – мышцы тазового пояса; 19 – гребень позвоночной кости; 20 – паховая (пупартова) связка; 21 – ложное сращение; г – условия равновесия головы и основные мышцы живота; 22 – атлантозатылочная опора; 23 – направление мышечной тяги, обеспечивающей необходимое положение головы; 24 – крепление мышцы; 25 – волокна прямой мышцы живота; 26 – волокна наружной косой мышцы живота; 27 – волокна внутренней косой мышцы жи-

вота; 28 – волокна поперечной мышцы живота

4. Позвоночный столб наиболее подвижен в шейном и поясничных отделах и наименее – в грудном.

Имея в виду значительную гибкость позвоночного столба, объединяющего две активные пространственные структуры – грудную клетку с верхними конечностями и тазобедренный объем с нижними конечностями, возникает вопрос: как и чем обеспечивается статическая неизменяемость и устойчивость позвоночного столба? В данном случае можно найти некоторую взаимную аналогию в строительстве инженерных сооружений, в частности высоких и гибких мачт (рис. 4.14), устойчивость которых обеспечи-

105

вается за счет оттяжек. Эта аналогия появляется в структуре скелета человека, в которой динамическая устойчивость шарнирно соединенных конструктивных элементов обеспечивается контролируемым напряжением гибких связей – мышц (рис. 4.15).

4.5. Некоторые особенности изгиба конструктивных элементов

В конструктивном элементе под воздействием внешних нагрузок возникают так называемые внутренние усилия, оказывающие сопротивление

NА = 0; RA = P·b / (a+b); RB=P·a ⁄ (a+b).

106

RB), можно приступать к построению эпюр Qy и Mx, используя как и в случаях растяжения (сжатия) стержня метод сечений.

1.Мысленно рассекая балку на две части в сечении чуть правее точки

А(рис. 4.16,б), сформулируем в виде равенств факт равновесия одной из двух образовавшихся частей, например левой. При этом эффект воздейст-

вия правой части на левую заменим действием на неё внутренних сил Мx и Qy (на рисунке показаны их положительные направления).

ΣМA=0; RA·0 + Qy·0 – Mx=0; откуда Mx=0;

ΣY=0; RA – Qy = 0; откуда Qy=RA=P·b⁄ (a+b). Эти значения – на эпюрах Qy и

Mx (рис. 4.16,е,ж).

2. Рассмотрим равновесие левой, отсечённой в этом месте, части балки в сечении С чуть левее точки С (рис. 4.16,г): ΣY=0; RA – Qy=0, откуда

Qy=RA=P·b/(a+b); ΣmC=0; RA·a + Qy·0 – Mx=0, откуда Mx=P·a·b/(a+b).

При построении эпюр Qy и Mx правило знаков следующее: вверх откладываются положительные

значения Qy и отрицательные значения Мх, вниз – наоборот. Получается, что эпюры внутренних изгибающих моментов, возникаю-

щих в балке, всегда откладываются со стороны её растянутых в результате изгиба волокон.

3. Рассматривая равновесие левой отсечённой части в сечении С чуть правее точки С (рис.

4.15,д), получаем ΣY=0; RA – P – Qy=0, откуда Qy=−P·(a+b);

ΣmC=0; RA·a - P·0 + Qy·0 – Mx=0, откуда Mx=P·a·b/ (a+b).

При построении уравнений общего равновесия придерживаются следующего правила знаков:

проекции сил на оси координат считаются положительными, если

их направления совпадают с положительными направлениями этих осей; положительными являются моменты, если они действуют вокруг выбранной точки по часовой стрелке.

Значения Мх и Qy в сечении В чуть левее точки В составят ΣY=0; Qy +

RB=0, откуда Qy= − RB= − P·(a+b); ΣM =M + Q·0 −RB, откуда Mx=0.

Балка, опёртая шарнирно по краям, нагружена по всей длине равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q. Перед построением эпюр внутренних усилий вычисляем значения реакций в опорах из условий

107

общего равновесия балки ΣX=0, ΣY=0 и, например, ΣmA=0; HA=0; RA −q·l + RB=0; q·l·l/2 − RB·l=0, откуда RA=RB=q·l/2. Можно проследить (рис. 4.17), что в середине пролёта балки внутренний изгибающий момент Мх принимает максимальное значение. В этой точке касательная к эпюре Мх параллельна оси балки, т.е. её угол наклона β = 0. Внутренняя поперечная сила в этой точке Qy = tg 0 = 0.

Хороший способ проверки и быстрого построения эпюр Qy и Мх основан на принципе независимости действия сил (принцип суперпозиции): результат одновременного действия на конструкцию нескольких внешних нагрузок равносилен сумме результатов действия каждой из

этих нагрузок в отдельности.

Характер распределения нормальных напряжений по поперечному сечению изгибае-

мой балки. Определяя нормальные напряжения, необходимо исходить из того, что изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределённых по сечению. Чтобы установить закон распределения и значения внутренних сил в поперечном сечении балки, уравнений статики недостаточно. Необходимо использовать условия деформации балки при её изгибе.

Если балку с нанесённой на её поверхность сеткой подвергнуть чистому плоскому изгибу, то обнаружится следующее (рис. 4.18):

-линии 1-1 и 2-2 на поверхности балки после её деформации наклонятся друг к другу на угол dφ, оставаясь прямыми, а поперечные сечения балки, плоские до деформации, останутся плоскими и после деформации,

что соответствует гипотезе плоских сечений;

-волокна на прогнутой стороне балки удлиняется, что свидетельствует о растяжении этого волокна, а верхнее волокно a-в укорачивается, что свидетельствует о его сжатии, в то время как волокно c-d в пределах нейтральной зоны остаётся без изменения.

Если из рис. 4.18 dz = ρ tg(dϕ) = ρ dϕ , то удлинение dz составит ∆dz = y dϕ , а относительное удлинение (линейная деформация) волокна 1’-

108

2’ составит ε = ∆dz / dz = ydϕ/ ρdϕ = y / ρ .

напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Наибольшие напряжения будут у верхнего и нижнего краёв сечения. Это даёт большие возможности в регулировании формы поперечного сечения и распределения материала по его площади.

Чтобы установить зависимость между внутренним изгибающим моментом Мх в произвольном сечении изогнутого бруса и нормальными на-

109