2293

Эта форма уравнения состояния удобна для использования в расчетах на ЭВМ.

Уравнение количества движения единицы массы рабочего вещества с учетом предположений, сделанных при выводе уравнения неразрывности, имеет вид

где dl – элементарная техническая работа, совершаемая единицей массы вещества при расширении в рабочем колесе; dlТР – элементарная работа сил трения, приведенная к единице массы рабочего вещества.

Работа dl в зависимости от координаты х может быть определена из формулы Эйлера

Подставляя выражение (4.48) в уравнение (4.47) и учитывая, что для осевого турбодетандера изменение окружной скорости на цилиндрической поверхности du = 0, получим

110

Элементарная работа сил трения dlТР , равная теплоте трения qТР , может быть определена как

где – скоростной коэффициент элемента проточной части детандера, характеризующий его эффективность. Коэффициент зависит от многих факторов – числа Рейнольдса, угла изгиба лопаток, толщины входных и выходных кромок и т.д.

При = const уравнение (4.51) с учетом (4.39) примет вид

Уравнение сохранения энергии. Согласно первому закону термодинамики, при отсутствии теплопритоков из окружающей среды уравнение сохранения энергии в дифференциальной форме для парогазовой среды имеет вид

где g0 – начальная массовая концентрация пара, способного конденсироваться или кристаллизоваться; dhПГ = cPПГ dT; dhП = cРП dT и dhТ = сРТ dT – изменение энтальпии единицы массы попутного газа, пара и новой фазы;

111

dqФП = LdgТ – теплота фазового перехода; сРПГ , сРП и сРТ – теплоемкости попутного газа, пара и новой фазы; L – теплота фазового перехода.

После дифференцирования уравнения (4.53) по х и несложных преобразований получим

ния насыщения по температуре (см. пункт 11 приложения); rП – объемная концентрация пара.

Уравнение кристаллизации. Предположим, что коагуляции и дробления образовавшихся частиц новой фазы не происходит, а размеры каждой из них изменяются в результате обмена элементарными частицами между новой и основной фазами. В этом случае сочетание формулы скорости образования зародышей критического размера с выражениями, описывающими закономерности их роста, позволяет получить уравнение, связывающее изменение расхода выпавшей новой фазы с параметрами потока.

Число частиц критического размера, возникающих в единицу времени в объеме F(xi)dx в сечении xi проточной части детандера, запишем в виде

I xi F xi dx,

где I xi – скорость образования зародышей критического размера в сече-

нии xi ; F xi – площадь проточной части в сечении xi .

После того как частица достигла критического размера, дальнейший ее рост происходит по законам увеличения массы. Величина m (xi , x) является массой частицы в сечении х, возникшей в сечении xi . Принимая во внимание принятые допущения, массовая концентрация новой фазы в сечении х определится следующим выражением:

112

В реальном двухфазном потоке спектр распределения частиц по размерам непрерывен и образует полидисперсную структуру. В рассматриваемой математической модели этот спектр заменяется n числом групп частиц, имеющих одинаковые в пределах групп размеры. При бесконечно большом n идеализированная модель не отличается от действительного течения.

Число частиц в i-й группе, образовавшейся в объеме Vi за время , вычисляется по формуле

где Ii – скорость ядрообразования зародышей критического размера i-й группы; Fi – среднее в пределах х поперечное сечение каналов проточной части; х – отрезок пути потока, на протяжении которого возникла i-я группа частиц; с – средняя в пределах х скорость потока.

Очевидно, что Ni является функцией х и переохлаждения паров Т. Поэтому с появлением в процессе расширения переохлаждения и его ростом в какой-то момент времени число Ni впервые становится больше единицы. Место хi образования первого зародыша в проточной части турбодетандера можно определить из соотношения (4.57), полагая, что Ni = 1:

x c/ IxiF ,

где х = хi – x0 – расстояние от места х0 достижения потоком состояния насыщения до сечения хi ; с и F – средние в пределах х скорость потока и площадь поперечного сечения каналов; Ixi – скорость ядрообразования зародышей критического размера в сечении хi .

Участок проточной части турбодетандера, где Ni > 1, является зоной ядрообразования.

С учетом вышеизложенного уравнение кристаллизации диоксида углерода из продуктов сгорания топлива (4.56) будет выглядеть следующим образом:

113

Уравнения (4.44), (4.46), (4.50), (4.54), (4.58) совместно с (4.43) и (4.52) образуют систему уравнений математической модели процесса расширения продуктов сгорания топлива с частичной кристаллизацией диоксида углерода в проточной части радиального турбодетандера:

или