Ответы
1.0,73. 2. 0,35. 3. 0,994.
§4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н1, Н 2 ,...Н n , образующих полную систему попарно несовместных со-
бытий (см. рис. 1.3). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(А) = ∑ P(Hi ) P( A |
|
) |
|
. |
|
|
(2.10) |
||
|
|
|
|
l =1 |
|
|
Hi |
|
|
|
|
|
|
В тесной связи с формулой полной вероятности находится так |
|||||||||||||
называемая формула Бейеса |
|
) P( A |
|
|
И |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
P(Hi |
|
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
||||
|
|
Р( |
Нi |
|
|
|
|
Hi |
|
|
|
, |
(2.11) |
|
|
|
А) = P(H )P( A |
) + ... + P(H |
|
)P( A |
) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
H1 |
|
|
|
n |
|
H n |
|
|
где P(Нi |
|
|
|
|
А |
после того, |
как имело место |
||||||
|
А |
|
|
б |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
событие А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула Бейеса позволяет переоценить вероятность гипотез, |
|||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принятых до испытания, по результатам уже произведённого испыта- |
|||||||||||||
ния [8]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. |
Имеются две урны № 1, три урны № 2 и пять урн № 3. |
||||||||||||
Урны внешне не отл чаются одна от другой. В урне № 1 имеются 1 белый и 4 черных шара; в урне № 2 – 5 белых и 3 черных шара, в урне № 3 – 6 белых и 9 черных шаров. Наугад берут одну из урн и из
нее вынимают шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ока- |
||
жется белым? |
С |
А – появление белого шара из урны, |
Решение. |
Пусть событие |
|
взятой наудачу. Это событие будет происходить совместно с выбором урны, из которой извлекается шар. Пусть события Н1 , Н 2 , Н3 состо-
ят в том, что будут выбраны урны № 1, № 2, № 3 соответственно.
Определим вероятности гипотез: |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
P(H1 ) = |
|
2 |
; |
P(H 2 ) = |
; |
P(H3 ) = |
|
5 |
. |
|||
10 |
10 |
10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем условные вероятности появления белого шара из соответствующих урн:
73
|
|
|
P(А / H1 ) = |
|
1 ; |
P(А / H 2 ) = |
5 |
; |
P(А / H3 ) = |
|
6 |
. |
||||||
|
|
|
|
8 |
15 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||
Искомая вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
P(А) = P(H1 ) P(A/ H1 )+ P(H2 ) P(A/ H2 ) + P(H3 ) P(A/ H3 ) = |
||||||||||||||||||
= |
2 |
1 |
+ |
3 |
5 + |
|
5 |
|
|
|
6 |
= 0,4275. |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
10 |
5 |
10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 2. Из 16 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежит стрелок?
Решение. Здесь на результаты влияют два фактора: с одной стороны, вероятность попадания, с другой – количество стрелков в группе. Например, наибольшие шансы не попасть у стрелков третьей группы, но зато их только четверо.
Пусть событие А – “промах наудачу выбранного стрелка”.
Н1 |
−“наудачу выбранный стрелок из первой группы”. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
||
Н 2 − “наудачу выбранный стрелок из второйИгруппы”. |
|
|
|||||||||||||
Н3 −“наудачу выбранный стрелок из третьей группы”. |
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
б |
Д |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р( |
Н1 ) = 5 |
16 |
= 0,3125, |
Р(Н 2 ) = 7 |
16 |
= 0,4375, Р(Н ) = 7 |
4 |
= 0,25; |
|||||||
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р( |
Н1 |
) = 0,2 0,3125 + 0,3 0,4375 + 0,5 0,25 = 0,31875; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р( |
Н1 |
А |
) = |
0,2 0,3125 |
= 0,1961; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0,31875и |
|
|
|
|
|
|
|||
Р( |
Н3 |
А |
) = 0,5 0,25 |
= 0,3922. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0,31875 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вероятнее всего стрелок принадлежит ко второй группе.
Задача 3. Имеются две партии деталей, причём известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в
другой партии 14 деталей недоброкачественных. Деталь, взятая из
наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.
Решение. Пусть событие А – “первая деталь доброкачественная”.
74
Гипотезы:
Н1 – “взята партия, содержащая недоброкачественные детали”;
Н2 – “взята партия доброкачественных деталей”.
По условию задачи,
Р(Н1 ) = Р(Н 2 ) = 12 , Р( А Н1 ) = 34 , Р( А Н 2 ) = 1;
Р(А) = 12 34 + 12 1 = 78 ≈ 0,875.
После первого испытания вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали, равна
|
Н1 |
|
|
Р( Н1 )Р( А |
Н1 |
) |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
||||||
Р( |
А |
) = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
4 |
|
≈ 0,4286 |
; |
|||||
|
|
Р( А ) |
|
|
|
|
0,875 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
||||||
|
Н2 |
|
|
|
Р( Н2 |
)Р( А |
Н2 |
) |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Р( |
|
|
) = |
|
|
|
Д |
|
|
|
≈ 0,5714. |
|||||||||
|
А |
|
Р( А ) |
|
|
|
|
|
= |
0,875 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности. Если P1 и P2 – вероятно-
сти гипотез Н1 и Н2 после испытания, то согласно предыдущим вы-
числениям |
|
и |
|
|
|||
|
|
|
|
P1 = |
0,4286 ; P2 = 0,5714. |
||
|
|
В |
|
1 |
|
В |
|
|
С |
) б= ; Р( |
|
) = 0. |
|||
Кроме того, Р( |
|
Н1 |
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
Н 2 |
|
Поэтому искомая вероятность |
1 |
|
|||||
|
|
Р(В) = 0,4286 |
+ 0,5714 0 ≈ 0,107. |
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны два блока, соединенные последовательно с точки зрения надежности, каждый из которых может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима – 0,1; второго – 0,5; третьего – 0,4. Надежность работы первого блока в первом, втором, третьем режимах равна соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Надежность работы второго блока в первом, втором, третьем режимах равна 0,9; 0,9; 0,8. Найти надежность системы, если блоки независимы.
75
2. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный на – 16, удовлетворительно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен а) отлично; б) плохо.
3. С первого автомата на сборку поступает 20%, со второго − 30%, с третьего – 50% деталей. Первый автомат дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
4.Пусть при массовом производстве некоторого изделия вероятность того, что оно окажется стандартным, равна 0,95. Для контроля производится некоторая упрощенная проверка стандартности изделия, которая дает положительный результат в 99% случаев для стандартных изделий и в 3% случаев для нестандартных изделий. Какова вероятность того, что изделие стандартно, если оно выдержало уп-
рощенную проверку? |
|
|
|
|
И |
|
5. |
|
|
|
|
|
|
Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрел- |
||||||
ков равны соответственно 4 / 5, 3 / 4, 2 / 3 |
. При одновременном вы- |
|||||
|
|
|
|
|
Д |
|
стреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить веро- |
||||||
ятность того, что промахнулся третий стрелок. |
||||||
|
|
|
А |
|
||
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
б |
|
|
||
1. |
P = 0,6622. 2. а) |
P = 0,58 |
; б) P = 0,002 . 3. P = 0,0018. |
|||
|
и |
|
|
|
|
|
4. |
P = 0,998. 5. P = 0,46. |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
§5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Теорема Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа
1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.
76
Пусть эксперимент состоит в проведении n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А
(назовем его “успехом”, тогда А соответственно “неуспех”). Вероятность неуспеха равна q = 1 − p .
Рассмотрим общий случай в рамках схемы Бернулли – нахождение вероятности того, что в n испытаниях произойдёт ровно к успехов ( к ≤ n ). Обозначим эту вероятность Pn (к) . Событию В (произош-
ло к успехов в n испытаниях) благоприятствуют те элементарные события, в которые входит к множителей А и n − к множителей А ; ве-
роятности событий равны рк qn−к , а их число, к ак нетрудно видеть, равно числу способов, сколькими можно выбрать к элементов из n без учёта порядка, т. е. Сnк . Согласно определению вероятности,
P (к) = P(B) = pк qn−к + рк qn−к + ... + рк qn−к |
= С к pк qn−к |
, (2.12) |
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
где q =1− p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
||||
Формулу (2.12) называют формулой Бернулли [8]. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2. Локальная теорема МуавраИ– Лапласа |
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть в схеме |
Бернулли |
р ≠ 0;1 , |
тогда |
npq |
P (к) → 1 при |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n → ∞ , где х = |
к − np |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
; ϕ(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, |
при боль- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
npq |
|
|
2π |
|
|||||||||||||||||
ших n |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
иP (к) = |
|
|
|
1 |
|
ϕ(x). |
|
|
|
|
(2.13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для значений функции ϕ(х) составлено прил. 1.
3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
Пусть в схеме Бернулли к − число успехов в n испытаниях и
Рn (к1;к2 ) = Рn (к1 < к < к2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда при больших n |
|
|
|
|
|
|
|
|
−х2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
х |
|
|
Р |
n |
(к ;к |
2 |
) = |
|
|
∫2 |
2 |
dx , |
|
|
|
|
||||||||
|
||||||||||
|
1 |
|
|
2π х1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
77
где х1 = к1 − np ; х2 = к2 − np . npq npq
1 х −х2
Если обозначить Ф(х) = 2π 0∫ 2 вычислений
dx, то получаем формулу для
|
|
|
|
|
|
1 |
|
х |
|
−х |
2 |
|
1 |
|
х |
−х |
2 |
|
|
Р |
n |
(к ;к |
2 |
) = |
|
|
∫2 |
|
2 |
dx − |
|
|
∫1 |
2 |
dx = Ф(х |
2 |
) − Ф(х ). (2.14) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2π 0 |
|
|
|
|
2π |
0 |
|
|
1 |
||||||
Для значений функции Ф(х), соответствующих значениям аргумента х [0;5], имеется прил. 2. Для отрицательных х значения Ф(х)
можно получить, |
воспользовавшись нечётностью (Ф(−х) = −Ф(х)) |
|||
этой функции, а |
при х > 5 можно |
считать Ф(х) = 0,5 , |
т. к. |
|
|
|
|
И |
|
Ф(5) = 499997; Ф(х) →0,5 и Ф(х) – функция возрастающая. |
||||
|
х→∞ |
Дк! |
|
|
|
4. Теорема Пуассона |
|
||
Если n достаточно велико, а р мало, то |
|
|||
|
А |
|
|
|
|
Рn (к) = |
λк |
−λ , |
(2.15) |
где λ = np .
Задача 1. В урне 20 шаров: 15 елых и 5 чёрных. Вынули подряд 5 шаров, причём каждый вынутый шар возвращали в урну, и перед
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
извлечением следующегобшары в урне тщательно перемешивались. |
|||||||||||||||||||||||
Найти вероятность того, что |
з пяти вынутых шаров будет два белых. |
||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Вероятностьипоявления белого шара в каждом испыта- |
|||||||||||||||||||||
нии р = 15 |
20 |
, а вероятность непоявления белого шара q = 1 − p = 1 |
4 |
. |
|||||||||||||||||||
По формуле Бернулли (2.12) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P (2) = C 2 p2 q5−2 |
|
|
|
5! |
|
|
3 2 |
1 |
|
3 |
5! |
|
|
32 |
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
2!(5 − 2)! |
4 |
4 |
|
2!3! |
|
44 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
1 |
2 3 4 5 |
|
= |
45 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 1 23 |
44 |
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 2. Найти вероятность того, что из 100 независимых выстрелов будет 75 попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
Решение. Очевидно, мы находимся в рамках схемы Бернулли:
78
n = 100 ; к = 75 ; р = 0,8 ; |
|
q = 0,2; |
n – достаточно велико, воспользуем- |
|||||||
ся формулой (2.13): |
|
|
к − np |
= 75 −100 0,8 |
|
|||||
|
|
= |
|
= 4, x = |
= −1,25. |
|||||
|
npq |
100 0,8 0,2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
4 |
|
По прил. 1 находим ϕ(1,25 ) = 0,1826, тогда |
|
|||||||||
|
|
|
Р |
(75) = 1 |
0,1826 ≈ 0,0456. |
|
||||
100 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
Задача 3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?
Решение. Для того чтобы частота лежала в пределах от 0,2 до 0,4
в серии из 100 опытов, число появлений события |
m должно быть не |
|||||||
менее 20 и не более 40 (20 < m < 40). |
|
|
И |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра−Лапласа, форму- |
||||||||
лой (2.14) |
|
|
|
Д |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 − n p |
|
20 − n p |
|
||||
Р(20 ≤ m ≤ 40) = Ф |
|
|
− |
Ф |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n p q |
|
|
n p q |
|
||
где n = 100 ; p = 0,3; |
q = 0,7 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
40 |
− n p |
|
|
|
|
40 |
− 30 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
= Ф(2,18) = 0,4854 , |
|||
|
|
Ф |
n p q |
|
= Ф |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где значение Ф(2,18) найденобпо прил. 2. |
|
|
||||||||||||||
Ф( |
20 − n p |
) = Ф( |
|
|
|
20 − 30 |
|
|
) = Ф(−2,18) = −Ф(2,18) = −0,4854. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n p q |
|
|
100 0,3 0,7 |
|
|
|
|
|||||||
Следовательно,
P(20 ≤ m ≤ 40) = 0,4854 + 0,4854 = 0,97 .
Задача 4. Аппаратура содержит 2000 элементов, вероятность отказа каждой из них р = 0,0005. Какова вероятность отказа трех элементов, если отказы происходят независимо друг от друга?
Решение. р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона
λ = 2000 0,0005 = 1; Р2000 (3) |
= |
λ3 |
|
−λ |
= |
1 |
|
|
−1 |
≈ 0,06. |
|
3! |
|
2 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 5. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.
79
Решение. Обозначим количество испытуемых транзисторов че-
рез n. Тогда вероятность их безотказной работы равна 0,92n . События “все транзисторы работают безотказно” и “хотя бы один транзистор не работает” образуют полную группу событий. Значит, вероят-
ность события “хотя бы один отказ” равна 1− 0,92n . По условию задачи эта величина больше 0,95, т.е.
1 − 0,92n ≥ 0,95; − 0,92n ≥ −0,5; 0,92n ≤ 0,5;
ln0,92n ≥ ln0,5; |
||
nln0,92 ≥ ln0,5; |
||
n ≥ |
ln0,5 |
И |
|
ln0,92 |
|
Следовательно, n ≥ 36 . |
Д |
|
|
|
|
В заключение рассмотрим задачу, иллюстрирующую все три формулы.
Задача 6. Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из них за промежуток времени t равна 0,005.
Найти наиболее вероятное число о рывов и его вероятность. |
|||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Наиболее вероятноеАчисло обрывов будет λ=пр=4. |
||||||||
Точное значение вероятности четырех обрывов равно [см. формулу |
|||||||||
(2.12)] |
|
(4) = |
б |
|
|
||||
|
Р |
|
4 |
0,0054 (0,995)796 = 0,1945 . |
|||||
|
800 |
|
800 |
|
|
|
|
|
|
Пользуясь формулой Пуассона с λ = пр = 4, получаем [см. фор- |
|||||||||
мулу (2.15)] |
С |
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
е |
−4 |
= |
256 |
0,0183 = 0,1954 . |
|||
|
|
Р800 (4) |
4! |
|
24 |
||||
Вычисление по точной формуле дает 0,1945, так что ошибка при пользовании формулой Пуассона составляет 0,0009. Локальная предельная теорема Муавра–Лапласа дает для данного случая [см. фор-
мулу (2.13)]
|
(4) ≈ |
|
1 |
|
е− |
х2 |
|
Р |
|
|
2 |
≈ 0,2000, |
|||
|
|
|
|||||
800 |
|
2π 800 0,005 0,995 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80