Можно доказать, что при достаточно большом объеме выборки и при достаточно мелком делении интервалов с практической достоверностью близка к истинной функции распределения F (x).

§ 4. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, дисперсия

4.1. Параметры распределения

Одна из задач математической статистики: по имеющейся выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой случайной величины. Основными числовыми характеристиками выборки явля-

4.2. Несмещенность, состоятельность, эффективность параметров распределения

Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выборочную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближением соответствующих характеристик генеральной совокупности. Определим требования, которые должны при этом выполняться.

110

Пусть θ − статистическая оценка неизвестного параметра θ теоретического распределения. Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема n и вычислим для каждой

из них оценку параметра θ : θ1 ,θ2 ,θ3 , ,θn .

Тогда оценку θ можно рассматривать как случайную величину, принимающую возможные значения θ1 ,θ2 ,θ3 , ,θn .

1. Если математическое ожидание θ не равно оцениваемому параметру, мы будем получать при вычислении оценок систематические

ошибки одного знака (с избытком, если М (θ ) > 0 , и с недостатком, если М (θ ) < 0). Следовательно, необходимым условием отсутствия

2.Определение. Оценка θ называетсяДИэффективной, если она несмещенная и при этом имеет наименьшую дисперсию (наименьший разброс относительно θ ) по сравнениюА с другими несмещенными оценками параметра θ .

3.Определение. Оценкабθ называется состоятельной, если при неограниченном увеличенииио ъема выборки θ сходится по вероят-М (θ ) = 0 .математическое-Ссистематических ошибок является требование

В отличие от выборочного среднего, выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Пользуясь оценкой Dв вместо D , мы будем совершать некоторую систе-

матическую ошибку, так как её математическое ожидание несколько меньше истинного значения. Чтобы её ликвидировать, достаточно

ложить другую оценку дисперсии – исправленную дисперсию s², вы-

111

ляется состоятельной несмещенной оценкой дисперсии D.

Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует ис-

правленное среднее квадратическое отклонение (СКО)

112

4.3.Интервальные оценки математического ожидания

исреднего квадратического отклонения

оценками, то есть указывать интервал, в которыйИс заданной вероятностью попадает истинное значение оцениваемого параметра. Разу-

При выборке малого объема точечная оценка может значительно

отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошиб-

кам. Поэтому в таком случае лучше пользоваться интервальными

θ* – δ < θ < θ* + δ, в котором с заданной вероятностью γ заключено

истинное значение неизвестного параметра θ. Величина γ называется доверительной вероятностью или надежностью. Из определения доверительной вероятности следует, что

γ =Р ( θ* – δ < θ < θ* + δ ).

На практике обычно берут γ=0,95 или γ=0,99.

Рассмотрим построение доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины.

1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распреде-

113

лена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания а построим новую случайную величину

где хв – выборочное среднее; s2 – исправленная дисперсия; n – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать через t, имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента явным образом не зависит от а и σ ( неизвестное СКО), а зависит только от n.

зом, доверительный интервал с надежностью γ для математического ожидания а при неизвестном s есть интервал вида

xв − tγns < а < xв + tγns .

При больших n (n >30) распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным. В этом случае tγ можно найти из уравнения

2Ф(tγ )=1−α = γ .

Пример 2. По 25-ти деталям выборочные характеристики прочности Х составили: хв = 3; s = 1,5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х и точность оценки δ при γ= 0,99.

114

Решение. Из таблицы распределения Стьюдента (см. прил. 3) на-

ходим, что tγ (n = 25; к=25–1; α = 1–γ=1–0,99=0,01) = 2,80.

Тогда

или 2,16< a < 3,84 – доверительный интервал, в который попадает а с

вероятностью 0,99. Точность оценки δ = 0,84.

2. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Пусть по выборке объёма n получено исправленное среднее

оценкой среднего квадратического отклонения σ случайной величины

Х. Будем искать для s нормально распределенной случайной величины доверительный интервал вида (s − δ;s + δ ), где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. По определению,

доверительный интервал с заданной надежностью Р( |σ – s| < δ ) = γ имеет вид s − δ < σ < s + δ .

Существуют таблицы, из которых можно найти q по заданным n

и γ (прил. 5). Случайная величина q имеет распределение, зависящее только от n.

Для дисперсии оценка имеет вид

s2 (1− q)2 < D < s2 (1+ q)2 при q<1;

0 < D < s2 (1+ q)2 при q>1.

Пример 3. Произведено 20 измерений одним прибором некоторой случайной величины, имеющей нормальное распределение. Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение случайных ошибок измерений равно 1,3. Найти точность прибора с надежностью 0,95.

115

Решение. Точность прибора – это среднее квадратическое отклонение σ случайных ошибок измерений. По условию задачи, n = 20; s = 1,3. Найдем доверительный интервал для σ при заданной надежно-

сти γ = 0,95. По прил. 5 находим q (n = 20; γ = 0,95 ) = 0,37. Следовательно, границы доверительного интервала: 1,3(1–0,37) = 0,819 и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ < 1,781 с вероятностью 0,95.

3. Доверительные интервалы для оценки дисперсии.

Считаем, что, вообще говоря, математическое ожидание неиз-

вестно, а известна только точечная несмещенная оценка дисперсииs2 . Тогда доверительный интервал для дисперсии, соответствующий доверительной вероятности γ = 1−α , имеет вид

116