Сложив

почленно

эти

неравенства,

получаем

ln(n +1)< 1+

1

+

1 + +

1

+

1

, т.е. частичная сумма гармоническо-

2

n −1

n

3

го ряда Sn

= 1+ 1

+ 1 + +

1

> ln(n +1).

Поскольку lim ln(n +1)= ∞,

2

3

n

n→∞

получаем lim Sn = ∞, следовательно, гармонический ряд расходится.

n→∞

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1.

Исследовать на сходимость ряд

∞

1

.

∑

∞

n=3 n2 − 3n + 2

Задача 2.

Доказать, что ряд

расходится, если:

∑un

n=1

Д

un =

n2

−

3n +10

;

3n

−1 2n

а)

б)

un =

;

10n

2

− 3n +

1

А

3n

+ 2

в)

un = n sin

π

;

г)

un =

2

+1 .

Иn+1

2n +1

б

2n+3

+ 3

§2. Числовые ряды с неотрицательными членами

и

Теорет ческий материал

С

При анализе рядов, полученных в результате моделирования ка-

∞

+ a2

+ + an + , an ≥ 0;

∑ an = a1

n=1

∞

+ b2

+ + bn + , bn ≥ 0.

∑bn = b1

n=1

сходимость ряда

∞

∞

не превосходит сумму ряда

∑bn и сумма ряда ∑bn

∞

n=1

∞

n=1

∞

∑ an ; из расходимости ряда ∑bn следует расходимость ряда ∑ an .

n=1

n=1

n=1

Замечание 1. Утверждение теоремы остается в силе, если суще-

ствует натуральное N ,

такое, что для любого n ≥ N выполняется не-

равенство bn ≤ an .

Теорема 2. Предельный признак сравнения. Пусть даны два

ряда с неотрицательными членами

∞

∞

∑ an ,

∑bn .

n=1

n=1

И

то

Если существует конечный и не равный нулю предел lim an ,

n→∞ b

∞

1

Д

n

оба ряда

∞

∞

∑ an

и

∑bn одновременно сходятся или одновременно рас-

n=1

n=1

ходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто

б

∞

выбирают ряд вида ∑

nα

, α

> 0. Такой ряд называется обобщенным

n=1

и

гармоническим рядом. В примереА16 будет показано, что при α > 1

данный ряд сходится, а при α ≤ 1 расходится.

С

∑ an с положи-

Теорема 3 (пр знак Даламбера). Пусть дан ряд

lim an+1

n=1

тельными

членами.

Допустим,

что

существует

и

an+1 = ρ.

n→∞ an

lim

n→∞

an

Тогда:

∞

1) если ρ <1, то ряд

сходится;

∑ an

n=1

2) если ρ >1, то ряд

∞

расходится.

∑ an

n=1

членами. Допустим, что lim n

существует и lim n

= ρ .

an

an

n→∞

n→∞

Тогда:

1) если

ρ < 1, то ряд

∞

сходится;

∑ an

n=1

И

2)если

ρ > 1, то ряд

∞

расходится;

∑ an

n=1

∞

Д

3) если ρ = 1, то ряд ∑ an

может быть как сходящийся, так и рас-

n=1

ходящийся (см. приведенные далее примеры 14 и 15).

Сформулированный выше признак целесообразно использовать,

когда

an является n-й степенью некоторого выражения, например

a

=

2n

n +1

n2

А

, или a

=

.

n

nn

n

и

n

Замечание.

Пр знак Далам ера и признак Коши дают ответ о

С

сходимости только тех рядовб, порядок малости членов которых не

∞

Теорема 5 (интегральный признак). Пусть дан ряд ∑ an с поло-

n=1

жительными членами, причем a1 > a2 > a3 > > an

> и f (n)−такая

непрерывная монотонно убывающая функция, что

f (n) = an . Тогда

1

1

1

∞

1

.

+

+ +

+

= ∑

lg 2

lg3

lg n

n=2 lg n

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Имеем

ln n ≤ n , значит,

1

≥

1 .

ln n

n

Так как гармонический ряд 1

+

1

+ 1

+ +

1

+ расходится, то

и данный ряд расходится.

2

3

4

n

Д

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1

∞

1

А

1+

+

+ +

+ И= ∑

.

3 2

3 3

3

n

n=13 n

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Имеем

3

≤ n , значит,

1

≥

1 .

б

n

3 n

n

и

Так как гармон ческ й ряд расходится, то и данный ряд расхо-

дится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

1

1

1

1

1

+ = 1

∞

1

.

+

+

+

+ +

+ ∑

n 5

n 52

n

53

n 5n

n=1n 5n

Решение.

равним данный ряд с рядом геометрической прогрес-

1

1

С1

1

1

.

сии

1+

5 +

+

+

+ ,

который

сходится.

Имеем

≤

52

5n

n 5n

5n

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

∞

3n

= 3

+

6

+

9

+ +

3n

+ .

∑

3

5

2n −1

n=12n −1

Решение. Имеем

a

n+1

3(n

+1)

3n

(3n + 3)(2n −1)

lim

= lim

:

=

lim

=

2(n +1)−1

2n

3n(2n +1)

n→∞

an

n→∞

−1

n

→∞

6

3

3

6n2 + 3n − 3

− n

−

6

n2

= 1.

2

= lim

=

= lim

6n

+ 3n

3

6

n→∞

n→∞

6 + n

При вычислении предела воспользовались тем, что если α > 0, то

lim

1

= 0.

n→∞ nα

Следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о

сходимости данного ряда. Но так как

lim a

n

= lim

3n

= lim

3

= 3

≠ 0 ,

т.е.

не выполняется необ-

1

n→∞

n→∞ 2n −1

n→∞

2

2 − n

И

ходимое условие сходимости ряда, значит, предложенный ряд расхо-

дится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

∞

1

=

1

+

1

+ +

1

+ .

∑

2

2

2

n=1(n + 2)

3

4

(n + 2)

Решение. Для данного ряда получаем

2

a

1

1

n

2

+ 4n + 4

n+1

(n + 2)

lim

= lim

:

=

lim

=

lim

=

an

(n +

3)2

(n

+ 2)2

(n + 3)2

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞ n

2

+ 6n + 9

1+ 4