§1. Задачи математической статистики

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1802.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

7. Непрерывная случайная величина X задана функцией плотно-

	0, x ≤ −1;
			a

сти вероятности	f (x) =			, −1	< x <1;
		+ x2
	1
			x ≥1.
	0,

Найти: а) неизвестный параметр а; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X); г) построить графики функций f(x) и F(x).

8. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону распределения с параметрами а =16 км и σ =100 м. Записать функции распределения и плотности вероятности этой случайной величины и найти вероятность то-

го, что расстояние между этими пунктами от 15,75 до 16,3 км.
			И
			Д
	Раздел 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТ Я МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
		СТАТИСТИКИ
	§ 1. Задачи математической статистики
		б
	Математическая статистика возникла и создавалась параллельно
с теорией вероятностей в XVII в. Дальнейшее развитие математиче-
	и
ской статистики (вторая половинаАXIX и начало XX вв.) обязано в
первую очередь П. Л. Че ышеву, А. А. Маркову, А. М. Ляпунову и
др.	С
др.

Математическая стат ст ка – это наука о способах получения выводов из опытных данных (результатов наблюдений). Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Отсюда вытекают основные разделы математической статистики.

1. Теория оценок.

Эта теория позволяет приближенно вычислить и оценить параметры случайных величин (математическое ожидание, дисперсию и т.д.) по данным опыта.

2. Статистическая проверка гипотез.

Эта теория позволяет проверить справедливость интересующих нас гипотез по данным опыта.

3. Дисперсионный анализ.

106

Эта теория позволяет найти слабые (статистические) зависимости между величинами, т. е. направлена на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях. В данном пособии будут рассмотрены только первые два раздела.

§ 2. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот

Пусть с испытанием связана случайная величина X и пусть в р е- зультате серии n независимых испытаний получен набор значений X :

x1, x2 ,..., xn .	(3.1)
Пусть G − генеральная совокупность, т.е. множество всех воз-
можных значений случайной величины	И
	X . Набор чисел (3.1) называ-

ется выборкой из генеральной совокупности, число n называется объ-

емом выборки, числа (3.1) называются элементами выборки или ва-

риантами.

Расположенные

значения

в порядке

возрастания

x1, x2 ,...,

xn образуют ряд, называемый вариационным рядом:

xmin ,

... , xmax – вариационный ряд.

Число R = xmax − xmin

называется размахом выборки.

Для построения вариационного ряда выполним действия:

xmax ] на некоторое число l интерва-

1. Разделим отрезок [xmin

лов одинаковой дл ны

∆

= R

. Величину к приближенно вычисляют

бk

по формуле l = [1+ 3,2lg n], где n – объём выборки.

хi = хi−1 + i∆.

2. Подсчитаем число элементов выборки, попадающих в каждый

интервал:

, n2 , ... , nm .

(3.2)

Очевидно, n1 + n2 + ... + nm = n.

попадания в

интервал.

Числа

(3.2) называются

частотами

Cоставим табл. 6.

Таблица 6

х0 − х1

х1 − х2

хn−1 − хn

ω = ni

107

Элементы третей строки называются относительными часто-

тами попадания в интервал. Очевидно, nn1 + nn2 + ... + nnm =1.

Полученная таблица называется выборочным распределением случайной величины X .

3. Изобразим выборочное распределение на графике (рис. 3.1). Для этого на оси 0Х отложим интервалы xi − xi+1 и на каждом из них

как на основании построим прямоугольник, площадь которогоωi , т.е. высота i-го прямоугольника ω∆i .

Построенный график называется гистограммой относительных частот и представляет собой выборочный аналог плотности вероят-

ности случайной величины. Площадь гистограммы равна единице.

f* (x)

∆ n

. . .

m−1

Р с. 3.1.бГ стограмма относительных частот

Пример 1.

При проведении 20-ти серий из 10-ти бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным

1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2,3,4,1.Составим вариационный ряд:

0,1,2,3,4,5. Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид табл. 7.

									Таблица 7
		хi	0		1	2	3	4	5
		ni	3		6	5	3	2	1
ω	i	= ni	3	6		5	3	2	1
ω		= ni
		n	20	20		20	20	20	20
		n	20	20		20	20	20	20

108

§ 3. Эмпирическая функция распределения

Построим выборочный аналог функции распределения F (x).

Для этого вначале на каждом интервале (рис. 3.2) выберем сере-

хi + хi+1

дину

хi

(i = 1,..., m) и составим табл. 8.

Таблица 8

хi

х1

хn

= ni

Определение.

Выборочной (эмпирической)

функцией распреде-

ления называют функцию F*(x), определяющую для каждого значе-
					Д
ния х относительную частоту события X < x.
Таким образом, F	*	(x)=	nx	, где nх – число вариант, меньших х;
				А
n – объем выборки. Из определения эмпирической функции распреде-
		б
ления видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:
1. 0 ≤ F*(x) ≤ 1.
и
2. F*(x) – неубывающая функция.
3. Если х1 – на меньшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х1; если хк –
наибольшая варианта, то F*(x)				= 1 при х > хк .
С

На оси ординат откладываем накопленные относительные частоты. Кружочки на графике означают, что соответствующие точки выброшены (см. рис. 3.2).

F*(x)

n
0	x1 x2 x3		x

Рис. 3.2. Выборочная функция распределения

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.84 Mб81799.pdf
#
07.01.2021201.85 Кб018.pdf
#
07.01.2021329.58 Кб0180.pdf
#
07.01.20211.84 Mб21800.pdf
#
07.01.20211.84 Mб01801.pdf
#
07.01.20211.85 Mб171802.pdf
#
07.01.20211.85 Mб21803.pdf
#
07.01.20211.85 Mб111804.pdf
#
07.01.20211.86 Mб21805.pdf
#
07.01.20211.86 Mб21806.pdf
#
07.01.20211.86 Mб31807.pdf

§ 1. Задачи математической статистики

§ 2. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот

§ 3. Эмпирическая функция распределения