Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

§1. Основные правила комбинаторики

1. Правило сложения

Пример 1. Пусть из пункта А в пункт В можно добраться самолётом, поездом и автобусом, причём между этими пунктами существуют 2 авиамаршрута, 1 железнодорожный и 3 автобусных. Следовательно, общее число маршрутов между пунктами А и В равно: 2 + 1 + 3 = 6 . Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения.

Если выбор каждого из объектов аi (i =1,2,...,к) можно выполнить ni способами, то выбор “или а1 , или а2 ,…, или ак ” можно произве-

Заметим, что с каждым из четырех способов заполнения первой лунки может совпасть любой з трёх способов заполнения второй. Поэтому общее число способов распределения двух лунок равно: 4 3 =12.

Запишем теперь прав ло умножения в общем виде.

Если выбор каждого из к объектов а (i = 1, 2, ..., к)можно осуще-

3. Размещения

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Размещением из n элементов по к (0 ≤ к ≤ n) элементов называется упорядоченное

подмножество, содержащее к различных элементов данного множества [6]. Все эти подмножества отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их распределения. Но число элементов

во всех этих подмножествах равно к . Для определения числа Аnк раз-

мещений из n элементов по к учтём, что первый элемент подмножества может быть взят n различными способами, второй – (n −1) спо-

57

Сколькими способами могут распределиться три первых места? Для решения этой задачи необходимо найти число всех подмножеств, состоящих из трёх элементов, отличающихся составом (номерами команд) или порядком их размещения (подмножества №1, №2, №3 и №2, №1, №3 являются разными). Таким образом, имеем дело с размещением. Тогда искомое число равно:

но, первую книгу можно выбрать 6 способами, вторую – 5 способами и т. д., последнюю – 1 способом. По правилу умножения, общее число способов равно: 6 5 4 3 2 1 = 720.

5. Сочетания

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по к(0 ≤ к ≤ n) элементов называется любое подмноже-

58

ство, которое содержит к различных элементов данного множества. Таким образом, различными подмножествами считаются только те, которые отличаются составом элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными [6].

Число всех возможных сочетаний из n элементов по к обозначается Сnк .

Так как число перестановок из к равно к!, то число размещений

Пример 5. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырёх для

ДействительноС, все трёхзначные числа представляют собой подмножества из трёх элементов, отличающихся и составом, и порядком следования элементов;

б) если числа могут содержать одинаковые цифры, то для цифры, стоящей на первом месте, в числе существует 5 возможностей; на втором месте – тоже 5, на третьем – также 5. По правилу умножения,

число всех трёхзначных чисел равно: 53 = 125.

Задача 2. Группа учащихся изучает 8 различных учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть 3 разных дисциплины (порядок дисциплин роли не играет).

59

Действительно, в данном случае мы имеем дело с подмножествами из трёх элементов, которые отличаются лишь составом.

Задача 3. Каким числом различных способов могут быть выбраны к деталей из партии в n деталей при выборочном контроле качества продукции?

Решение. В этой задаче все подмножества, содержащие к элементов, отличаются лишь составом элементов. Значит, число различ-

ных способов равно Сnк .

Задача 4. Карточка ”Спортлото” содержит 49 чисел. Играющий зачёркивает 6 произвольных чисел по своему усмотрению. После тиража объявляется 6 “счастливых” чисел. В случае совпадения по крайней мере 3 зачёркнутых “счастливых” чисел владелец карточки получает выигрыш тем больший, чем больше чисел угадано. Макси-

б) Выигрыш достигается, если угадано или 3, или 4, или 5, или 6 “счастливых” чисел, т. е. выигрыш может быть достигнут четырьмя вариантами. По правилу сложения, число способов в каждом из этих вариантов необходимо сложить. Рассмотрим первый вариант. Выигрыш 3 “счастливых” из 6: 3 “счастливых” числа из 6 можно выиграть

С63 способами, 3 “несчастливых” числа из (49 – 6) можно зачеркнуть С433 способами. Последовательный набор 3 из 6 “счастливых” чисел и 3 из 43 “несчастливых” на основании правила умножения может быть выполнен С63 С433 способами. Аналогично: 4 “счастливых” – С64 С432 ,

60

5 “счастливых” – С65 С431 , 6 “счастливых” – С66 С430 способами. Используя правило сложения, получим, что число способов, которыми

можно зачеркнуть 6 чисел так, чтобы обеспечить выигрыш, равно:

С63 С433 + С64 С432 + С65 С431 + С66 С430 = 246820 = 13545 + 258 +1 = 260624.

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя цифр в числе?

2. В урне 10 белых шаров и 5 чёрных. Сколькими способами из урны можно вынимать наугад 3 шара, чтобы:

в) два шара оказались белыми, а один – чёрным; г) один шар оказался белым, а два – чёрными?

3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8, если каждую из них можно использовать любое число раз?

ны извлечён шар, то событие “извлечён цветной шар” является достоверным.

Пример 2. Если в ящике имеются только стандартные детали и из ящика наудачу извлечена деталь, то невозможным будет событие «извлечена нестандартная деталь».

Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

61

Пример 3. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. Событие А – “появилась стандартная деталь” и событие В – “появилась нестандартная деталь” являются несовместными событиями.

Пример 4. Брошена игральная кость. Событие А – “появление двух очков” и событие В – “появление чётного числа очков” совместны, так как появление одного из них не исключает появление другого.

События А1, А2 ,..., Аn называются попарно несовместными, если любые два из этих событий не совместны.

Пример 5. Произведено два выстрела по мишени, события А1 − “два попадания”, А2 − “только одно попадание”, А3 − “ни одного попадания”. Эти события попарно несовместные.

тарными событиями являются события: ω1 = {1} – “появление одного

очка”; ω2 = {2} ; ω3 = {3} ; ω4 = {4} ; ω5 = {5} ; ω6 = {6} . Событие А = {{1},{3},{5}} – появление “нечётного числа очков” является подмно-

жеством пространства элементарных событий и является некоторым событием.

Элементарные события, принадлежащие событию А, называются благоприятствующими наступлению события А. В примере 6 это элементарные события ω1 , ω3 , ω5 .

События А1, А2 ,... называются равновозможными, если условия

испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

62

Пример 7. Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, т. к. игральная кость изготовлена из однородного материала и имеет строго симметричную форму.

Таким образом, каждое событие А определяется как подмножество пространства элементарных событий Ω . Очевидно, невозможному событию А не благоприятствует ни одно элементарное событие из Ω ,

т. е. оно совпадает с пустым множеством ; достоверному событию благоприятствуют все события пространства Ω .

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных равновозможных событий, благоприятствующих наступлению события А, к числу элементарных равновозможных со-

случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой

Решение. Пространство элементарных событий представляет собой множество:

ω1 – герб на первой монете, герб на второй монете; ω2 – герб на первой монете, цифра на второй монете; ω3 – цифра на первой монете, герб на второй монете;

ω4 – цифра на первой монете, цифра на второй монете.

Событие А (выпадение хотя бы одного герба) = {ω1,ω2 ,ω3} ,

Ω = {ω1,ω2 ,ω3 ,ω4}. Следовательно, Р(А) = 3/ 4 = 0,75 .

Задача 2. В урне 3 белых и 9 чёрных шаров, из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался чёрным (событие А)?

Решение. Число случаев, благоприятствующих событию А, равно 9. Число всех равновозможных случаев равно 12 (9+3). Следователь-

но, Р(А) = 9 /12 = 0,75.

63

Задача 3. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара

т. к. белых шаров 4, а выбираем из них 2. Тогда Р = mn = 6 / 55 = 0,109 . Задача 4. Десять различных книг расставляются наудачу на од-

ной полке. Найти вероятность того, что три определённые книги окажутся поставленными рядом.

полке равно числу перестановок из 8 элементовИ(связка плюс оставшиеся 7 книг), т. е. Р8 = 8!. Внутри связки три книги можно распреде-

Решение. Представим себе, что три определённые книги связаны

вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на

Задачи для самостоятельного решения

1. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартные.

2. Буквы а, а, в, к, к, о, х написаны на отдельных карточках. Какова вероятность того, что, извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слово "Каховка"?

3. На складе имеются 15 кинескопов, причём 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 5 кинескопов окажутся 3 кинескопа Львовского завода.

64

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем; б) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что раз-

ность их равна четырем.

5. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

6. Тот же вопрос, что в задаче 2, но первая карточка после извлечения кладется обратно и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.

7. На шести карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После тщательного перемешивания берут наудачу по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится сло-

подготовил 50. Какова вероятностьАДтого, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

менно два шара. Какоеисобытбе более вероятно: А – шары одного цвета; В – шары разных цветов?

9. В урне 3 белых 4 черных шара. Из урны вынимают одновре-

и, помня лишьС, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

10. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры

Ответы

1.0,36. 2. 0,0008. 3. 0,1998. 4. а) P = 0,05(5); б) P = 0,5. 5. P = 0,5.

6.P = 0,4. 7. P = 0,0028. 8. P = 0,692 . 9. P(B) > P(A) . 10. P = 0,0014.

65