Ответы

1. Область сходимости: а) 0 ≤ x < 2;

б) − ∞ < x < +∞ ; в) − 2 ≤ x < 2 ;

г) − 4 < x < 0

; д) − 1 ≤ x <

1

. 2. –2 < x <

и

< x < 2.

2

2

2

2

n+1

π 2n (x −

4)2n

π (x

− 4)

∞

2

3. ∑(−1)

1

+

. 4. 0,4992.

2 42n (2n)!

n=0

4(2n +1)

5. у(x) = π +

2π

(x −1) +

12π

(x −1)2 +

80π

(x −1)3 + … .

1!

2!

3!

§5. Ряды Фурье для функций с периодом 2π и 2ℓ

И

Теоретический материал

Рядом Фурье периодической функции

f (x) с периодом

2π , оп-

Д

ределенной на сегменте [− π ,π ], называется ряд

a0

∞

А

2

+

∑(an cosnx + bn sin nx),

где

n=1

1

π∫ f (x)cos nx dx (n = 0,1,2, );

a

n

=

π −π

и

b

=

1

π

f

(x)sin nx dx (n = 1,2, ).

n

бπ ∫

−π

Если ряд Фурье сход тся,

то его сумма S(x) есть периодическая

функция с периодом 2π , т.е.

S(х + 2π ) = S(x).

[− π ,π ]

Теорема Дирихле.

Пусть функция

f (x) на сегменте

имеет конечноеСчисло экстремумов и является непрерывной за ис-

ключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетво-

ряет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой

функции сходится в каждой точке сегмента [− π ,π ]

и сумма этого

ряда S(x) вычисляется:

1)

S(x) = f (x)

во всех

точках неразрывности

f (x), лежащих

внутри сегмента [− π ,π ];

2)

S(x

) = 1 [f (x

0

− 0)+ f

(x

+ 0)], где x − точка разрыва 1-го ро-

0

2

0

0

да функции

f (x);

3)

S

(x) = 1 [f (− π + 0)

+ f (π − 0)] на концах промежутка, т.е. при

x = ±π .

2

В случае, когда f (x)

– четная функция, ее ряд Фурье содержит

только свободный член и косинусы, т.е.

f (x) = a0

∞

+

∑an cosnx,

2

π∫

2

n=1

где an

=

f (x)cos nx dx .

π 0

В случае, когда f (x) – нечетная функция, ее ряд содержит толь-

ко синусы, т.е.

∞

f (x) =

∑bn sin nx dx,

2

π f (x)sin nxdx.

n=1

где b

=

n

π

∫

0

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции

И

– периодическая

периода, отличного от 2π. В этом случае, если

f (x)

функция

с

периодом

2 ,

для

которой

выполняются на сегменте

[− , ]

условия Дирихле,

то указаннаяДфункция может быть пред-

ставлена в виде суммы ряда Фурье:

f (x) =

a

0

∞ Аπ n

π n

+

∑

a

n

cos

x + b

sin

x ,

2

n=1

n

где

б

и

1

π n

f (x)cos

x dx;

∫

an

=

Сb

−

=

1

f (x)sin π n x dx .

n

∫

−

В случае, когда f (x) – четная функция, ее ряд Фурье содержит

только свободный член и косинусы, т.е.

f (x) = a0

∞

+

∑an cos nπx dx,

2

f (x)cos nπx dx .

2

n=1

где a

n

=

∫

0

∞

π nx

,

f (x) = ∑b sin

= 2

f (x)sin π nx dx .

n=1

n

где b

n

∫

0

При разложении в ряд Фурье целесообразно придерживаться сле-

дующей схемы. Вначале проверяем, что данная функция удовлетво-

ряет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты

an

и bn по

соответствующим формулам; подставляя их в ряд, получаем искомое

разложение; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем,

при каких

x полученный ряд сходится к данной функции. Рассмот-

рим примеры разложения в ряд Фурье периодических функций [5].

Образцы решения задач

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x) = x

периода 2π,

заданную на интервале −π < х ≤π .

И

y

y

Д

-4π

-4π

-3π

-2π -π

0 π

π

2π

3π

3π

4π x

x

-3π

-2π

-Аπ 0

2π

4π

б

Р с. 1.1. График функции f(x)=x

и

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, следо-

вательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как функция нечет-

С

ная, найдем коэффициенты Фурье:

2

π

интегрируем по частям

b =

∫ x sin nx dx =

x = u, sin nxdx = dv;

=

π

n

0

dx = dv, v = −

1 cos nx

n

2

cos nx

π

π cos nx

=

− x

n

+ ∫

n

dx =

π

0

0

2

1

π

=

− π cos πn

+ 0 cos 0 +

sin n x

=

2

π

n

n

n

0

= 2(−1)n+1 .

= −

2cosπ n

+

2sin πn − 2sin 0

= − 2(−1)n

π n

πn2

n

n

Следовательно, ряд Фурье функции

f (x) будет иметь вид

2 sin x − sin 2x + sin3x − sin 4x + ... + (−1)n sin nx + ... .

1

2

3

4

n

y

sin 2x

sin 3x

2 sin x −

2

+

3

x −

sin 2x

2 sin

2

2sin x

И

x

Д

Рис. 1.2. Графики функции f(x)=x и её частичных сумм

А

Так как функц я

f (x) = x

удовлетворяет условиям Дирихле, то в

б

сумма ряда равна значению функ-

любой точке непрерывности

f

(x)

Д

А

И4 6 8 10 12

x

-8 -6 -4 -2 0 2

б

Рис. 1.4. График функции

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно,

может быть разложена в ряд Фурье.

Пользуясь формулами

разложения

в

ряд

Фурье

на сегменте

[− , ],

полагая

= 2

разб вая интервал интегрирования точкой

x = 2

на две части, ипоскольку в каждой из них функция задана раз-

личными формулами, получим

an =

1

4

nπx

1

2

nπx

4

3x cos

nπx

dx

=

2

∫

f (x)cosСdx =

2

∫6cos

2

dx +∫

2

0

2

0

2

1

12

nπx

2

2π

nπx

4

nπx

4

6

(1− cos nπ ).

=

sin

+ 3

sin

+

cos

=

n2π 2

n2π 2

2

nπ

2

0

nπ

2

2

2

При n четном cos nπ =1 и аn

= 0 , при n нечетном cos nπ = −1 и

an =

12

, при n=0

n2 π 2

1 4

1 2

4