6.

f (x)

=

3

−

6

∞

1

cos

(2n −1) πx

−

3

∞ (−1)n

sin

nπx

.

∑

∑

4

π 2

−1)2

3

n

3

n=1(2n

π n=1

10

∞

sin nπx

7.

f (x)

=

∑ (−1)n

5

.

π

n=1

n

Для просмотра

https://www.youtube.com/watch?v=iMXoiV84NdQ&feature=youtu.be

видеофрагмента обратитесь к ссылке

Вопросы и упражнения для самопроверки

1.

И

Дать определение и привести примеры числовых рядов.

2.

Дать определение числового ряда с положительными членами.

3.

Дать определение признака ДаламбераДсходимости рядов с поло-

жительными членами.

4.

Дать определение признака Коши сходимости рядов с положитель-

ными членами.

А

нтегральногоб

5.

Дать определен е

признака сходимости рядов с по-

ложительными членами.

6.

Как определяетсяизнакочередующийся ряд? Дать определение ус-

ловной и абсолютной сходимости. Сформулировать признак Лейбни-

ца.

С

7.

Как определяются функциональный ряд, интервал его сходимости?

8.

Дайте определение равномерной сходимости функционального ря-

Вариант 1

1. Найти сумму ряда. Выяснить вопрос о сходимости, используя

определения

∞

1

Д

.

∑

− 5n + 6

n=1n2

2. Исследовать сходимость знакоположительныхИрядов:

∞

4n

+1

∞

3n +1 n

a)

∑

;

б)

∑

;

n=15n + 2

б

n=1

n

А

в)

∞

(n

+1)!

;

г)

∞ ln n

.

∑

∑

n

n=1 5n

n=1

3. Исследовать

сход мость

знакопеременных

рядов.

Если ряд

С

сходится, то определ ть, сход тся он абсолютно или условно.

sin n

n

1

n

3n +1

n

∞

∞

∞

а)

∑

2n

;

б) ∑

2n

+1

;

в) ∑ −

4n + 2

.

n=1

n=1

n=1

2

4. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область

сходимости.

+ 2 n

∞

(x − 2)n

;

б)

∞

3n

n

а) ∑

3n n

∑

4n

+ 2

(2x)

;

n=1

n=1

∞

(2x +1)n

;

г)

∞

в) ∑

4n

∑n!(x −1)n .

n=1

n=1

y

′′

− (1+ x

2

)y = 0 ; y(0) = −2;

′

y (0) = 2.

7. Разложить

функцию f (x) = x +1 в

ряд Фурье в интервале

∞

2

.

∑

− 3n + 6

n=1n2

2. Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

∞

4n2 +

1

∞ 3n +

1 n

И

a)

∑

;

б)

∑

n

;

2

n=15n2 +

n=1

(n +1)!

1

в)

∞

;

∞ e n

∑

5

n

г) ∑

2 .

n=1

n=1 n

3. Исследовать сходимость знакопеременных рядов. Если ряд

сходится, то определить, сходится онДабсолютно или условно.

∞ cos n

∞ (-4)n

∞

−

1 n

n +1 n

а) ∑

n

;

б) ∑

;

в)

∑

.

n=1 3

n=13n +1

n=1

3

2n + 3

4. Исследовать сход

мость степенного ряда. Найти его область

сходимости.

б

n

∞

(x − 3)

n

∞

n

иn +1

а) ∑

;

б) ∑

(8x)

;

2n (n +1)

4n

n=1

n=1

+ 2

∞

n

∞

n

n

(4x +

1)

(x

− 2)

в)

∑

С3

.

2n

;

г) ∑

n!

n=1

n=1

5. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения по-

∞

2

.

∑

n=1n2 − 4n + 3

2. Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

∞ 2n3 +1

∞

5n +1 n

И

a)

∑

;

б) ∑

;

3n + 2

n=1 n3 + 2n

n=1

∞

2n

∞ ln2 (n +

1)

∑

Д

в)

+1)!

;

г) ∑

n +1

.

n=1(n

n=1

3.

Исследовать

сходимость знакопеременных рядов. Если ряд

А

сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

∞ sin n

∞

(−

4)n

∞

n

n +1

n

а)

∑

n2

;

б)

∑

+ 2

;

в)

∑ (− 3)

4n +1

.

n=1

n=13n

n=1

и

4. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область

сходимости.

С

б∞

n

∞

(2x

−1)

n

n

а) ∑

;

б)

∑

n +1

x

;

n

(n +1)

n=1 2

n=1 4n + 2

в)

n

;

г)

∑ (n +1)!(2x +1)n .

∑ (4x +1)

∞

∞

n=1

2n

n=1

5. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения по-

∞

1

.

∑

− 5n + 4

n=1n2

2. Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

∞ 3n +1

∞ 3n2 +1

n

∞

n!

∞ 2n

a) ∑

;

2

;

в) ∑

n

;

г) ∑

2

.

б) ∑

n

+ 2

+1

+1

n=12n + 2

n=1

n=12

n=1n

И

3. Исследовать сходимость знакопеременных рядов. Если ряд

сходится, то определить, сходится он абсолютно или условно.

Д

∞ cos n

∞

(−4)n

∞

−

1 n n

+1 n

а)

∑

n

;

б) ∑

;

в)

∑

.

n=1 3

n=13n +1

n=1

3 2n + 3

4. Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область

сходимости.

б

∞

(2x −1)n

;

∞

3n2

+

1 n

xn ;

а) ∑

б) ∑

и

n

2

n=1

3

n

n=1

n + 2А

∞ (x +1)n

∞

5n (x − 2)n

в)

∑

;

С

.

n=1

2n +1

n=1

(n +

1)!