§3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

∞

an

=

a1

+

a2

+

a3

+ +

an

.

∑

n=1

∞

И

∞

Теорема 1. Если ряд

an

сходится, то сходится и ряд

∑

∑ an .

∞

an

n=1

Д

∞

n=1

Так как ряд

сходится,

то и сходится ряд

∑

∑ an , потому что

n=1

n=1

все его члены либо меньше, либо равны членам ряда

∞

an

, и по при-

∑

б

n=1

знаку сравнения он является сходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

∞

n+1

1

А

n+1 1

(−1)

1

1

∑

2

= 1−

+

−

+ + (−1)

+ .

2

2

2

2

С

2

3

4

∞

n

n=1

n

Решение. Ряд, составленный из модулей членов данного ряда

1

и1 1

1

1

∞

1

+

+

−

+ +

+ =

∑

,

22

32

42

n2

n=1n2

Определение 2. Знакопеременный ряд ∑ an называется абсо-

∞

n=1

лютно сходящимся, если сходится ряд

an

, составленный из мо-

∑

дулей его членов.

n=1

ряда.

Теорема

2

(признак

Лейбница).

Знакочередующийся ряд

∞

И

∑ (−1)n+1an сходится, если:

n=1

А

1) его члены убывают по модулю:

a1

≥ a2

≥ a3 ≥ ≥ an ≥ ;

б

2) его общий член стремится к нулюД:

lim an = 0.

и

n→∞

При этом сумма S

ряда

∞

удовлетворяет неравенст-

∑ (−1)n+1an

С

n=1

вам 0 ≤ S ≤ a1 .

Образцы решения задач

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

∞

1

1

1

1

1

∑(−

1)n+1

= 1−

+

−

+ + (−1)n+1

+ .

3 2

3 3

3 4

3 n

n=1

3 n

∞

1

= 1

+

1

+

1

+

1

+ +

1

+ .

∑

n=13 n

3 2

3

3

3

4

3

n

тегральным

признаком

(см. §2, теорему

5).

Рассмотрим функцию

f (x) =

1

,

x ≥ 1.

Эта функция непрерывна,

монотонно убывает и

3 x

f (n) =

1

, следовательно,

условие интегрального признака удовле-

3 n

творено. Имеем

2

−1

2

∞

1

M

x

3

M

3

dx = lim

∫ x

3

dx =

lim

lim

M

3

−1

∫

|

=

= ∞ ,

3

1

x

M

→∞

1

M

→∞

2

1

M

→∞

2

2

3

так как

lim M 3 = ∞.

M →∞

1

Итак,

ряд

∞

расходится, т.е. исходный ряд не является абсо-

∑

n=13

n

Д

лютно сходящимся.

А

2. Исследуем ряд на условную сходимостьИ. Воспользуемся при-

знаком Лейбница. Имеем

1

1

1

1

б

1 > 3

2

> 3

3

> 3

4

> >

3

n

> ,

lim an

1

и

= lim

=

0.

n→∞

n→∞ 3 n

n

Сn

значит, ряд явля-

Оба условия пр знака Лейбница выполняются,

ется условно сходящ мся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

∞

(− 2)n+1

=

4

−

8

+

16

+ +

(− 2)n+1

+ .

∑

4

10

28

3 +1

n=1 3 +1

∞

2n+1

=

4

+

8

+

16

+ +

2n+1

+ .

∑

4

10

28

3n +1

n=13n +1

a

n+1

2n+2

2n+1

2n+2 (3n +1)

lim

:

=

=

n+1

n

=

n+1

n+1

an

lim

3

+1

3

+1

lim

2

(3

n→∞

n→∞

n→∞

+1)

n+1

n

1

1

2

2 3

1+

2 1+

3n

= lim

3n

= lim

= 6

,

n→∞

1

n→∞

1

2n+1 3n

3

+

3 +

n

3n

3

1

т.к.

lim

= 0 .

3n

n→∞

Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин, схо-

дится, а исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 4. Исследовать данный ряд

∞ (−1)n+1

2n

2

4

n+1

2n

∑

=

−

+ + (−1)

+ .

3

5

2n +1

2n +1

n=1

Для этого рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин

И

∞

2n

=

2 +

4 + +

2n

+ .

∑

n=1 2n +1

3

5

Д

2n +1

Имеем

А

lim an = lim

2n

= lim

2n

= lim

2

=

2 = 1 ≠ 0,

2n +1

1

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

2

б2n +1

+ n

lim 1 = 0 .

и

2

т.к.

n→∞ n

Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимо-

С

lim an = lim

2n

=1 ≠ 0.

2n +1

n→∞

n→∞