1711

от центра тяжести этих эпюр (рис. 7.3) соответственно до опор (n 1) и (n+1).

Подставим найденные перемещения в (7.1), перенося грузовое перемещение в правую часть уравнения и сокращая все слагаемые на изгибную жёсткость EJ:

Следует обратить внимание на правую часть выражения (7.6). По сути, она представляет собой сумму двух условных (фиктивных) опорных реакций, полученных от загружения условной нагрузкой, описанной по закону

ние (7.6), получим уравнение, которое в строительной механике носит на-

звание уравнения трёх моментов.

90

При расчёте многопролётных неразрезных балок на статическую нагрузку для каждой промежуточной опоры записывают уравнение трёх моментов. Таких уравнений записывают столько, сколько раз является статически неопределимой рассчитываемая балка. В результате решения полученной таким образом системы алгебраических уравнений находят значения опорных моментов. Строят эпюру опорных моментов, которую гео-

метрически складывают с грузовой эпюрой MFo . В результате сложения получают эпюру моментов в заданной системе.

В прил. 2 для наиболее характерных случаев загружения балки приведены значения фиктивных опорных реакций Аnф и Вnф.

7.2. Определение моментных фокусных отношений

Рассмотрим некоторый участок неразрезной балки (рис. 7.4) с загруженным только одним пролётом и с построенной для этого случая эпюрой моментов. Если каким-то образом изменить величину силы F загруженного пролёта, то соответственно изменятся и ординаты этой эпюры. Но форма эпюры никак не изменится, и в незагруженных пролётах останутся неизменными положения нулевых точек, которые называются фокусными точками.

Точки, расположенные правее загруженного пролета, называются правыми, а левее левыми фокусами.

Отношения опорных моментов незагруженного пролета называются моментными фокусными отношениями. Различают левые kn моментные фокусные отношения, представляющие собой отношение последующего опорного момента к предыдущему, и правые kn , представляющие собой отношение предыдущего опорного момента к последующему.

Рис. 7.4

Так, для пролёта n при расположении загруженного пролёта правее

91

вее рассматриваемого, то в нём будет иметь место правое фокусное отно-

шение kn Mn 1 . Таким образом, в каждом незагруженном пролёте

Mn

имеются два моментных фокусных отношения, знания которых дают возможность определять моменты на опорах незагруженных пролётов.

Для вывода формулы определения моментных фокусных отношений рассмотрим участок неразрезной балки (рис. 7.5) при расположении загруженного пролёта правее выделенного участка.

Рис. 7.5

Запишем уравнение трёх моментов для опоры n и приравняем его к нулю (7.8). Равенство нулю выражения (7.8) связано с отсутствием на сопряжённых рассматриваемых пролётах внешней нагрузки.

Выразим в (7.8) опорные моменты Mn 1 и Mn 1 через опорный момент Mn , используя для этого левые фокусные отношения:

Сокращая выражение (7.10) на величину Mn и решая его относительно

92

левого фокусного отношения kn, получим

Проводя аналогичные рассуждения при расположении загруженного пролёта левее рассматриваемого, получим

Анализ структуры полученных формул говорит о том, что они являются рекуррентными, т.е. каждое последующее значение фокусного отношения определяется через предыдущее значение для левых фокусных отношений, а наоборот для правых. Для определения этих значений рассмотрим три случая закрепления крайних пролётов.

При шарнирном опирании крайнего (например, левого) пролёта (рис.

Но так как при шарнирном опирании крайний опорный момент Mn 1 0, то в этом случае kn .

Если крайний (например, левый) пролёт неразрезной балки имеет консоль, то, используя предыдущее рассуждение (рис. 7.7), можно заключить, что левое фокусное отношение kn .

В случае жёсткого защемления крайнего (например, левого) пролёта неразрезной балки (рис. 7.8) для определения значения фокусного отношения в месте этого защемления в левую сторону ставят условный пролётn 1 0, имеющий шарнирное опирание. Для этого случая было показано, что kn 1 . Тогда, подставляя это значение в (7.11), получаем значение

93

Мn

n-2 Мn-1

n-1 n

ℓn-1=0 ℓn

Рис. 7.8

Аналогичными будут значения правых фокусных отношений, если рассматривать такие же соответственно закрепления крайних правых про-

Пример. Определить фокусные отношения в неразрезной балке.

Рис. 7.9

Фокусные отношения определим по формулам (7.11) и (7.12).

94

7.3. Определение моментов на опорах загруженного пролёта

При расчёте неразрезных балок, прежде чем воспользоваться моментными фокусными отношениями, необходимо найти значения моментов на опорах загруженных пролётов.

Пусть загруженным является только один пролёт n . Запишем урав-

нения трёх моментов соответственно для левой (n 1) и правой n опор.

через опорный момент Мn 1, используя для этого левое фокусное отношение kn 1. Во втором уравнении этой же системы опорный момент Mn 1 выразим через момент Mn , используя для этого правое фокусное отношение kn 1:

В последних соотношениях, используя формулы (7.11) и (7.12), заменим левое kn 1 и правое kn 1 фокусные отношения на фокусные отношения kn и kn соответственно. Кроме того, учитывая, что загруженным явля-

систему уравнений (7.13) и решая её относительно опорных моментов Mn

Зная значения опорных моментов в загруженном пролёте, через соответствующие моментные фокусные отношения можно определить моменты на опорах незагруженных пролётов.

95

7.4.Определение изгибающих моментов и поперечных сил

взаданной системе неразрезной балки

Изгибающие моменты в заданной системе неразрезной балки определяем по известному выражению

где Моп значение опорных изгибающих моментов; Мо значение изгибающих моментов в основной системе (см. рис. 7.3) (в статически определимых простых балках).

Поперечные силы определяем по известной из теории изгиба дифференциальной зависимости между M и Q:

где угол наклона эпюры Mзад к оси балки.

Анализируя изложенное, можно сформулировать алгоритм расчёта многопролётных неразрезных балок методом моментных фокусных отношений на статическую нагрузку.

1. По формулам (7.11) и (7.12) находят значения моментных фокусных отношений. В каждом пролёте имеются два моментных фокусных отношения: одно левое kn , другое правое kn .

2. Поочерёдно в соответствии с принципом суперпозиции загружают каждый пролёт. При этом сначала находят для загружаемого пролёта значения фиктивных опорных реакций Аnф и Вnф соответственно. После этого по формулам (7.14) и (7.15) находят моменты на опорах загруженного пролёта. Далее, используя мометные фокусные отношения, находят значения опорных моментов на опорах незагруженных пролётов.

3.Суммируя найденные значения опорных моментов, строят эпюру опорных моментов.

4.Построенную эпюру опорных моментов складывают с грузовыми эпюрами для каждого пролёта и получают таким образом эпюру моментов

взаданной системе.

5.Контролем правильности построенной эпюры моментов служит известная из предыдущего раздела настоящего курса деформационная проверка метода сил.

6.По построенной эпюре моментов, используя известное выражение

96

ности которой являются её дифференциальная зависимость с итоговой эпюрой моментов и статическая проверка.

7. Правильность построения эпюры Qx контролируется статической проверкой, когда рассматривается равновесие всех сил, возникающих в зоне каждой опоры неразрезной балки.

Для проведения статической проверки мысленно делают два сечения: слева и справа у рассматриваемой опоры, заменяя действие отброшенных частей соответствующими поперечными силами, сумма проекций которых на вертикальную ось должна равняться опорной реакции.

7.5. Линии влияния опорных моментов

Как известно, расчёт любого сооружения на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния усилий.

В связи с тем, что неразрезная балка является статически неопределимой системой, сначала нужно раскрыть эту статическую неопределимость, то есть построить линии влияния «лишних» неизвестных. В настоящем подразделе показано, что для неразрезной балки «лишними» неизвестными являются опорные моменты.

Для построения линий влияния опорных моментов подвижную силу

F 1 передвигают поочерёдно по всем пролетам неразрезной балки и выражают опорные моменты в них как функции от координаты положения

этой подвижной силы F 1.

Для определения опорных моментов используем формулы (7.14) и (7.15), в которые подставим значения фиктивных опорных реакций (7.16) и (7.17), полученных при фиксированном (рис. 7.10) положении силы F 1

Учитывая, что сила F 1, получим выражения для определения опорных моментов при передвижении подвижной единичной силы по пролёту.

Движение силы F 1 по пролёту описывается изменением параметра u (или ), фиксирующего положение этой силы в пролёте:

97

Эп. М0F

Рис. 7.10

После арифметических преобразований и обозначения функций, описывающих положение единичной силы в пролёте, заu u 1 u 1 u 2 u и u u 1 u u 1 u 2 соответственно, учитывая при этом, что u 1 , получают формулы для построения линий влияния опорных моментов:

Для определения α(u) и β(u) составлена табл. 7.1

Изменяя u (положение груза F=1 в n-м пролете), из табл. 7.1 находим значения α(u), β(u).

98