Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1711

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

усилия от Fн, приложенной в узле 3 нижнего пояса, величина V3-4 опреде-
ляется путём умножения Fн на yн линии влияния (см. рис. 4.9, б).
		Сечение		6		8
	•	2	4			8	10
r2-5	•	2	O2-4	_			10
r2-5	RА		D2-5	_
	RА		D2-5	F=1
к							13
к
с	1	3	U3-5	5	7	9	11
с	d
с					Правая
r2-5					прямая
О							Л.в. D2-5
				Переходная
	Левая			прямая
	прямая
				Рис. 4.8
а	2	Fв	4	6	8		10
а	2		4	6	8		10
h
	1						9
б		3	Fн	5		7	d
			Fн
				yн
1				yн
1
							Л.в. V3-4
в							Езда понизу
в
1
							Л.в. V3-4
							Езда поверху
			yв
			Рис. 4.9
				50

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ

5.1. Основные понятия и обозначения

Всякое сооружение под действием приложенных к нему внешних нагрузок (сосредоточенные и распределённые нагрузки, ветер, температура и др.) изменяет свою первоначальную форму, т.е. все точки этого сооружения получают перемещения.

Определение перемещений осуществляют для того, чтобы оценить жёсткость сооружения. Для определения перемещений необходимо знать работу внутренних сил, возникающих в сооружении в результате действия на него внешних нагрузок.

В инженерной практике расчёт, связанный с определением перемещений, сводится к определению перемещений от действия внешних нагрузок, не вызывающих напряжений в поперечном сечении больше предела упругости. Такие перемещения называются упругими. Пусть отрезок ab, принадлежащий какому-то элементу конструкции, помещённый в прямоугольную систему координат и имеющий длину ds до деформирования элемента конструкции, занимал положение, показанное на рис. 5.1.

	y			• b'
				• b'
vb	dS+ΔdS			Δb
vb	а'	α +Δα
	а'	α +Δα		•
	•			•
	а		•
	dS		•
vа	dS	α	b
vа	•	α	b
	•
	а
				x
	Uа
	Рис. 5.1
После деформирования элемента конструкции этот отрезок займёт по-
	. При этом длина его изменится на величину ds, а первона-
ложение a b	. При этом длина его изменится на величину ds, а первона-
чальный угол на величину . Тогда расстояние аа				будет составлять
полное перемещение точки а, а bb точки b; угловое перемещение
	51

отрезка ab; ua и ub есть суть линейные перемещения точек а и b вдоль оси х соответственно, va и vb вдоль оси у, w вдоль оси z (это перемещение на рис. 5.1 не показано, т.к. оно перпендикулярно плоскости чертежа).

Рассмотрим определение упругих перемещений. Полное перемещение обозначается символом km . Индексы у перемещения несут следующую смысловую нагрузку: первый индекс (в данном случае k ) указывает на направление искомого перемещения; второй индекс (в данном случае m) указывает на причину, вызвавшую это перемещение. На рис. 5.2 показана иллюстрация индексов перемещений для балок, нагруженных разным типом нагрузок.

∆mk ∆kk

∆mm

∆km

Рис. 5.2

Перемещения, вызванные действием силовых факторов, равных единице, называются единичными (удельными) и обозначаются km или mm . На основе принципа суперпозиции при определении перемещений используется зависимость

km F1 k1 ...

Fi ki ....

Fn km.

(5.1)

5.2. Действительная работа внешних сил

При определении работы внешних сил рассматривается статическое приложение нагрузки, когда они в процессе приложения к конструкции медленно возрастают от 0 до какого-то конечного значения и в дальнейшем остаются неизменными.

Из сопротивления материалов известно, что работа, производимая силой F1 на перемещении в направлении k, вызванном этой силой, равна пло-

щади треугольника ОАВ графика, показанного на рис. 5.3. В соот-ветствии с этим действительная работа внешних сил описывается фор-мулой

					F
W	1	F		.	F1
W	1	F		.	(5.2)
	2	1	k1		(5.2)

к1

Рис. 5.3

5.3 Обобщённые силы и обобщённые перемещения

Под обобщённой силой будем понимать любое силовое воздействие. Под обобщённым перемещением будем понимать условное перемещение, определённое из того, что произведение обобщённой силы на обобщённое перемещение равно возможной работе. Сказанное поясним примерами.

Пример 1.

W=F·∆a +F·∆b = F·(∆a+∆b)= F*·∆*,

где F* обобщённая сила;

∆* обобщённое перемещение.

Пример 2.

W=F·∆a -F·∆b =F·[(ρ +h) ·∆φ - ρ·∆φ]= F·h·∆φ = M* ·∆*,

где M* обобщённая сила;

		a	b
F		a	b		F
F				b'	F
F	a'			b'	F

∆a ∆b

		F	F
	b		F
	b	∆b b'
	a		a'
	F	∆a

			∆φ
ρ			∆φ

Пример 3.
	F		2F	3F 2F		5F	А=F·∆1+2F·∆2+3F·∆3+2F·∆4+5F·∆5=F·∆,
							А=F·∆1+2F·∆2+3F·∆3+2F·∆4+5F·∆5=F·∆,
							где F* обобщённая сила;

∆1		∆2 ∆3		∆4	∆5
∆1		∆2 ∆3		∆4	∆5		∆* обобщённое перемещение.
							∆* обобщённое перемещение.

Здесь же необходимо дать понятие о действительной и возможной работе. При деформации тела внешние силы совершают работу на перемещениях точек приложения этих сил. Внутренние силы совершают работу на соответствующих им деформациях, которые могут быть как линейными, так и угловыми.

Работа называется действительной, если она производится на перемещениях, вызванных теми же силами.

Работа называется возможной, если она производится на перемещениях или деформациях, вызванных другими силами.

5.4. Действительная работа внутренних сил

Выделим из конструкции, подверженной внешнему силовому воздействию, бесконечно малый элемент (рис. 5.4) длиной dℓ, на гранях которого имеют место внутренние силовые факторы M, Q и N.

			dℓ + ∆·dℓ
M Q	Q M
M Q	Q M
N	N	N		N
N				N

dℓ		dℓ
dℓ		dℓ

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Внутренние силовые факторы противодействуют изменению длин волокон материала, изгибу, сдвигу. Поэтому действительная работа, создаваемая внутренними силовыми факторами, будет отрицательной. В формулах для определения таких работ в этой связи ставят знак минус.

На основании принципа суперпозиции найдём работу, совершаемую каждым из этих внутренних силовых факторов на вызванных ими перемещениях.

1. Работа продольных сил.

Силы N вызвали изменение первоначальной длины элемента на величину d (рис. 5.5). Возникшие при этом внутренние усилия будут равны по величине внешним силам и противоположны по знаку.

Из курса сопротивления материалов известно, что изменение длины стержня при деформации «растяжение сжатие», когда на стержень действует сосредоточенная продольная сила N, определяют по формуле

d	N d	.	(5.3)

	EA

Элементарная работа внутренних сил на совершаемых ими перемещениях (в данном случае d ), согласно приведённому здесь определению действительной работы, может быть определена в соответствии с (5.2) по формуле

W N	1	N d .	(5.4)

2

Подставляя в выражение (5.4) выражение (5.3), получают формулу для определения элементарной работы:

W N	1	N	Nd	N 2d	.	(5.5)

2			EA	2EA

Тогда в целом по стержню продольная сила N совершит работу

W	N		N2d	.	(5.6)

			2EA
		0

В случае действия на стержень системы продольных сил N, выражение (5.6) принимает следующий вид:

			N	n	Ni2d
		W				.	(5.7)
		W			2E A	.	(5.7)
				i 1	i i
2. Работа изгибающего момента.
ρ	O
	d				Под действием изгибающего мо-
M		M			мента М (рис. 5.6) произойдёт вза-
M		M			мента М (рис. 5.6) произойдёт вза-
					имный поворот сечений бесконечно
					малого элемента длиной d . При
A		B			этом элементарная работа, соверша-
A		B			емая сосредоточенным моментом М,
					будет равна			1
						W M		1	M d .


	dℓ				(5.8)		2
							2


	Рис. 5.6

В сопротивлении материалов при рассмотрении чистого изгиба полу-

чено следующее соотношение: 1 М . Из рассмотрения треугольника

ЕJ

ОАВ (см. рис. 5.6) очевидно, что d d . Подставляя эти соотношения в

выражение (5.8), получим
W M	M d	.	(5.9)

	2EJ

Выражение работы в целом для всего стержня с учётом действия на него системы сосредоточенных моментов принимает следующий вид:

n	M	2d
W(M)			.	(5.10)
W(M)			.	(5.10)
i 1 2EJ

3. Работа от действия поперечной силы.

Вызванный силой Q сдвиг торцевых сечений бесконечно малого элемента определится из выражения у d . С другой стороны, в соответ-

ствии с законом Гука при сдвиге . Подставив это соотношение в пре-

дыдущую формулу и учтя Q , найдём величину сдвига

		у			Q d	.	(5.11)
		у				.	(5.11)
					AG
	γ

							Q
			τ·dA

	γ								Q
				∆y


dℓ								dℓ
dℓ								dℓ

Рис. 5.7

Закрепим условно левую грань (рис. 5.7) бесконечно малого элемента и предположим, что касательные напряжения распределены по всей высо-

те сечения равномерно. Исходя из этого предположения Q . A

Элементарная работа статической силы Q на этом перемещении будет равна

W Q	1	Q y	Q2 d	.	(5.12)

2			2AG

Из курса сопротивления материалов известно, что в действительности эпюра касательных напряжений по высоте сечения является непостоянной. Она изменяется по квадратной параболе от нуля в крайних волокнах до максимума в уровне нейтрального волокна. Поэтому в выражение (5.12) вводят поправочный коэффициент , учитывающий неравномерность распределения по высоте сечения касательного напряжения . Формула, по которой определяют этот коэффициент, получена из известной формулы Журавского.

А		Sотс	dA.	(5.13)
2		2
Jz	A	b

Величина этого коэффициента, что очевидно из формулы (5.13), в которой участвуют только геометрические параметры сечения, зависит от формы поперечного сечения элемента. При этом коэффициент всегда больше единицы. Так, для прямоугольника 1,2.

Выражение работы в целом для всего стержня с учётом действия на него системы сосредоточенных поперечных сил принимает следующий вид:

W	Q n	Q2d	.	(5.14)

		2GA
	i 1

Суммируя работы от всех рассмотренных силовых факторов, получим выражение действительной работы внутренних силовых факторов

W	N2d	M 2d	Q2d
				.	(5.15)
	2EA	2EJ	2GA

Выражение (5.15), взятое с обратным знаком, носит название потенциальной энергии системы: U W .

5.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 5.8).

1-е состояние				2-е состояние
	F1				F2
*
			∆21			∆22


		*		∆12
∆11

Рис. 5.8

В дальнейшем, понимая под F какую-то обобщённую силу, уберём индекс (*). Физический смысл показанных на рис. 5.8 перемещений заключается в следующем:

11 перемещение в направлении силы F1 от действия той же силы F1;

21 перемещение в направлении силы F2 от действия силы F1;

12 перемещение в направлении силы F1 от действия силы F2;

22 перемещение в направлении силы F2 от действия той же силы F2.

Работу силы F1 на вызванном ею перемещении 11 обозначим W11, а

работу силы F2 на вызванном ею перемещении 22 W22. Учитывая, что эти силы приложены статически, в соответствии с определением действительной работы запишем

;

(5.16)

С другой стороны, используя выражение (5.15), запишем

W11 (

N2d

M 2d

Q2d

);

2EA

2EJ

2GA

(5.17)

N22d

M22d

Q22d

W22 (

2EA

2EJ

2GA

Рассмотрим теперь статическое нагружение

данной системы в такой последовательности

(рис. 5.9): сначала к системе статически прикла-

дывается сила F1. Затем, когда процесс нараста-

ния силы F1 закончится, к уже деформированной

∆11

системе также статически прикладывается сила

∆22

F1. До приложения силы F2 работа

∆12

11.

Рис

. 5.9

В результате дополнительного нагружения силой F2 система получает дополнительные деформации. В связи с этим в ней возникают дополнительные усилия, равные тем, что имели место во втором (см. рис. 5.8) состоянии. В процессе приложения силы F2 сила F1 остаётся неизменной. Поэтому она на перемещениях, вызванных силoй F2, совершает возможную работу А12 F1 12. В это время сила F2 на вызванном ею перемеще-

нии	совершает действительную работу А		1	F	. Таким обра-

22	22	2		2	22

зом, полная работа системы при описанном характере её нагружения будет равна

А А	А	А	F		1		F		F		1	.	(5.18)

11	12	22	1	2		11	1	12	2	2		22

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.61 Mб01707.pdf
#
07.01.20211.61 Mб201708.pdf
#
07.01.20211.61 Mб11709.pdf
#
07.01.2021324.73 Кб0171.pdf
#
07.01.20211.61 Mб01710.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01711.pdf
#
07.01.20211.62 Mб01712.pdf
#
07.01.20211.62 Mб11713.pdf
#
07.01.20211.62 Mб91714.pdf
#
07.01.20211.62 Mб21715.pdf
#
07.01.20211.62 Mб31716.pdf