1711

дых тел, связанная между собой идеальными связями, находится в равновесии, то сумма работ всех заданных сил на любых сколь угодно малых возможных перемещениях равна нулю.

Идеальными считаются такие связи, в которых отсутствуют трение, обмятия узлов и другие аналогичные явления. Возможными считаются такие перемещения, какие допускают идеальные связи.

В соответствии с этим методом каждая линия влияния представляет собой эпюру перемещений. Рассмотрим построение линии влияния опорной реакции (рис. 2.15) для однопролётной балки АВ. Поместив подвижную единичную силу F в произвольную точку, отбрасывают опорную связь в точке А.

Под действием силы F =1 балка АВ, ставшая механизмом, повернётся вокруг опоры В на угол , а перемещение точки под силой F=1 составит величину у.

В соответствии с принципом Лагранжа можно записать следующее выражение:

Работа силы взята со знаком минус, так как сила RA противоположна направлению перемещения точки А. Учитывая то, что F =1, из (2.9) найдём RA = 1 у .

Рис. 2.15

При построении линии влияния момента для превращения балки АВ в механизм (рис. 2.16) в сечение, для которого требуется построить эту линию влияния, вводят условный шарнир. Высвободившееся усилие обозначают символом M. Введение шарнира даёт балке возможность провиснуть, и эпюра возможных перемещений такой балки охарактеризуется двумя

20

между собой.

Л.в. S

Л.в. S

yн yк

Рис. 2.18 Рис. 2.19

При загружении треугольной линии влияния системой сосредоточенных подвижных сил (рис. 2.20), когда вершина линии влияния находится на некотором расстоянии а от её начала, любое усилие можно найти исходя из выражения

Если предположить, что вся система нагрузок сдвинулась вправо или влево, значение усилия получит приращение dS. В правой части равенства (2.13) ординаты изменятся на величину dx tg k. Тогда

a

Рис. 2.20

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.14), представляет собой значение первой производной от величины S . Известно, что функция достигает своего экстремального значения, когда её первая производная равна

23

нолю. В соответствии с этим

Но так как углы наклона 1, 2, …, k, …, n линии влияния остаются без изменения, выражение (2.15) может обратиться в ноль при условии, если изменяются величины некоторых сил F. Последнее условие возможно только при переходе какой-либо силы, называемой Fкр, через вершину линии влияния. Исходя из этого получены условия (2.16), определяющие экстремальное положение над треугольной линией влияния системы сосредоточенных подвижных нагрузок:

В практике расчёта конструкций транспортных сооружений часто используют так называемую эквивалентную нагрузку. Эквивалентной назы-

вается такая равномерно распределённая нагрузка интенсивностью qэ, которая создаёт в рассматриваемом сечении такое же усилие, какое вызывает система из сосредоточенных нагрузок, установленная в экстремальном положении.

При загружении линии влияния любого усилия системой сосредоточенных нагрузок усилие может быть найдено по выражению (2.6)

n

SF Fi yi . По данному определению эквивалентной нагрузки усилие в

i 1

соответствии с (2.7) может быть найдено по выражению S qэ . Приравнивая оба значения S, найдём

Очевидно, что величина эквивалентной нагрузки зависит от вида и очертания линии влияния. Однако для подобных между собой линий влияния, которые могут быть построены одна из другой изменением всех ординат в одном и том же соотношении, эквивалентные нагрузки имеют одинаковую интенсивность

2.9. Узловая передача нагрузки

24

меняется между узлами по закону прямой. На рис. 2.22 показаны примеры построения линий влияния при узловой передаче нагрузки.

2.10. Определение усилий в матричной форме

При решении многих задач строительной механики удобным оказывается использование матричного аппарата линейной алгебры.

На основании принципа суперпозиций запишем аналитические выражения для определения любых внутренних усилий S в различных сечениях стержня, подверженного действию системы сосредоточенных сил.

вия силы Fj 1. В матричной форме эта система уравнений может быть записана в виде

Из выражения (2.21) видно, что элементами матрицы влияния являются ординаты линий влияния того усилия, матрица влияния которого строится.

При определении усилий в матричной форме любая задача решается шире, чем это имеет место при определении усилия с помощью линии влияния. В этом случае охватывается сразу несколько сечений рассматриваемой конструкции. Размер матрицы влияния Ls зависит от числа участков, на которые разбивают рассчитываемую конструкцию.

26

27