1711

типы арок:

y

С

f

ℓ

Рис. 3.3

Ось арки может быть очерчена различными кривыми. Наиболее часто в практике транспортного строительства используется парабола, описанная выражением (3.1), и дуга окружности, описанная выражением (3.2).

Тригонометрические функции, соответствующие дуге окружности имеют

В последних формулах R радиус окружности.

3.2. Расчёт трёхшарнирной арки на статическую нагрузку

Как и любой расчёт, расчёт трёхшарнирной арки начинают с определения опорных реакций. На рис. 3.4 изображена арка с пятами на одном уровне, находящаяся под воздействием системы внешних нагрузок.

Вертикальные составляющие Va и Vb опорных реакций Ra и Rb находят из рассмотрения пролёта арки, как пролёта балки. Тогда из МВ = 0 нахо-

31

дят:

Рис. 3.4

Здесь М А0 В представляет собой так называемый балочный момент,

т.е. момент, создаваемый вертикальными силами.

Для определения горизонтальных Нa и Нb составляющих опорных реакций Ra и Rb рассмотрим равновесие арки в целом, составив уравнение статики суммы проекции всех сил, действующих на арку, на горизонтальную ось х. х=Нa Нb = 0 Нa = Нb = Н. Далее, составляя уравнение моментов относительно замкового шарнира С, рассматривая при этом равновесие либо левой, либо правой полуарок, можно записать

Мсправ Мс0 прав Н f 0;

Для определения в произвольном сечении арки внутренних усилий

32

мысленно в этом сечении проводят плоскость, нормальную к оси арки (рис. 3.5). Положение плоскости определяется координатами её центра тяжести хк, ук и к.

v

y

yх

VА HА

Ах

Рис. 3.5

Отделяемая этим сечением любая из частей арки находится в равновесии под действием приложенных к рассматриваемой части арки внешних сил и равнодействующей R внутренних сил, приложенной к плоскости сечения. С отнесением равнодействующей R в центр тяжести сечения внутренние усилия в сечении арки будут определяться изгибающим моментом Мх, поперечной силой Qx и продольной силой Nx. Рассматривая равновесие оставшейся части арки (см. рис. 3.5), составляют уравнение моментов относительно сечения к и уравнения проекций всех сил на нормаль и касательную к оси арки в точке к соответственно. Исходя из этого получены выражения

По приведённым формулам строят эпюры внутренних усилий, предва-

33

рительно определив геометрические параметры каждого рассматриваемого сечения трёхшарнирной арки.

3.3. Расчёт трёхшарнирной арки на подвижную нагрузку

Расчёт на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния всех искомых параметров, определяющих напряжённо-деформирован- ное состояние рассчитываемой конструкции.

Как обычно, расчёт начинают с построения линий влияния опорных реакций. Линии влияния вертикальных Va и Vb составляющих опорных реакций (рис. 3.6) строят в точности так же, как строят линии влияния опорных реакций в двухопорной без консолей балке. При этом пролёт арки рассматривается как пролёт балки с длиной пролёта, равной расстоянию между пятовыми шарнирами А и В.

Линия влияния горизонтальной (распора Н) составляющей опорной реакции может быть построена в соответствии с выражением (3.4), согласно которому

Из (3.8) видно, что линия влияния распора имеет в точности такой же вид, что и линия влияния изгибающего момента для сечения С, построенного из рассмотрения пролёта арки как пролёта простой двухопорной балки (см. рис. 3.5). В соответствии с этим все ординаты данной линии влияния поделены на постоянную f , равную стреле подъёма арки.

Линия влияния изгибающего момента Мка в произвольном сечении к арки, находящемся на расстоянии х от левой опоры, может быть построена исходя из формулы (3.5):

В соответствии с этим выражением л.в. Мка представляет собой ал-

гебраическую сумму двух линий влияния линии влияния балочного момента и линии влияния распора Н, ординаты которой умножают на постоянную величину ук. На рис. 3.7, а показано построение Мка путём геометрического (метода наложений) сложения указанных линий влияния. На рис. 3.7, б показано построение л.в. Мка на базовой линии как результат алгебраического сложения двух разнозначных линий влияния.

Построение линии влияния поперечной силы Q основывается на фор-

34

35

распора Н , умноженных соответственно на значения cos k и sin k ,

имеющих место в сечении к. На рис. 3.8 показано построение л.в. Qka так называемым методом наложения. Как и в предыдущем случае, на базовой линии (рис. 3.8, б) показано сложение двух линий влияния.

Построение линии влияния продольной силы Nka , согласно формуле (3.7), можно осуществить по выражению

На рис. 3.9 показано построение этой линии влияния.

Анализ всех трёх линий влияния показывает, что на каждой из них есть

36

В случае расположения сечения к на правой полуарке формулы (3.12), (3.13) и (3.14) можно использовать с учётом того, что эти расстоя-

38

Л.в. Qак

uQ

Рис. 3.11

Рассмотрим два частных случая построения л.в. Qka , показанных на

39