1711

С другой стороны, учтя, что работа сил не зависит от порядка их приложения, можно записать

Приравнивая два последних выражения, после преобразований получаются следующие равенства:

На основании полученных равенств формулируется теорема о взаим-

ности работ (теорема Бетти) – возможная работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Выразим механическую работу W12 через внутренние усилия N, M и Q, записывая выражение (5.18)для внутренних сил:

Подставляя в (5.21) формулы (5.22) и (5.17), после преобразований получим выражение, описывающее механическую работу W12:

Из анализа выражения (5.23) очевидно, что каждое подынтегральное выражение представляет собой произведение внутреннего силового фактора одного состояния на соответствующее перемещение (деформацию), вызванное силами другого состояния.

Снова рассмотрим два состояния системы. Но в качестве нагрузок в

обоих состояниях примем силы F1 1 и F2 1. Тогда вызванные ими перемещения (рис. 5.10) будут единичными .

На основании теоремы Бетти можно записать F1 12 F2 21. По-

скольку силы F1 1 и F2 1, то получается равенство 12 21, называе-

60

мое теоремой о взаимности перемещений (теорема Рэлея). Перемещения по направлению сил первого состояния от сил, равных единице, второго состояния равны перемещениям по направлению сил второго состояния от сил, равных единице, первого состояния.

5.6. Определение перемещений. Интеграл Мора

Снова рассмотрим два состояния системы (рис. 5.11). В первом из них на систему действует любой комплекс внешних нагрузок, во втором только единичный силовой фактор, например сила F2 1.

Составим выражение работы, совершаемой заданным комплексом внешних нагрузок (1-е состояние) в направлении действия силы F2 1 (2-е

состояние). Согласно принципу возможных перемещений W21 F2 21 0 или

21

Рис. 5.11

Черта над обозначениями усилий означает, что эти усилия найдены от действия единичного силового фактора. Таким образом, перемещения от любой нагрузки можно выразить через внутренние усилия, возникающие в этой системе от действия на неё заданной внешней нагрузки и от действия на неё единичного силового фактора. При этом направление единичного

61

силового фактора совпадает с направлением искомого перемещения. Если определяется линейное перемещение (рис. 5.12), то в единичном

(дополнительном) состоянии к системе, в той точке, перемещение которой

определяется, прикладывается сила F 1. Если определяется угловое перемещение (рис. 5.13), то к тому сечению, поворот которого определяется, прикладывают сосредоточенный момент М 1.

Если определяют взаимное линейное смещение (рис. 5.14) двух точек системы, то в единичном состоянии к этим точкам по линии искомого смещения прикладывают единичные сосредоточенные силы, вектор которых направлен в разные стороны.

Если определяют взаимное угловое перемещение двух сечений, то в единичном состоянии к этим двум сечениям (рис. 5.15) прикладывают сосредоточенные единичные моменты, вектор которых направлен в сторону возможного взаимного углового перемещения.

F=1

В общем виде формула для определения перемещений принимает следующий вид:

62

Выражение (5.25) называется интегралом Мора. Порядок определения перемещений:

находят аналитические выражения для определения внутренних усилий при действии на систему заданной внешней нагрузки (действительное состояние системы);

по направлению искомого перемещения прикладывают соответствующий искомому перемещению единичный силовой фактор, от действия которого находят аналитическое выражение внутреннего силового фактора (единичное состояние системы);

полученные аналитические выражения внутренних силовых факторов подставляют под знаки интегралов и осуществляют интегрирование, результатом которого является определение величины искомого перемещения.

При этом следует отметить, что если знак найденного перемещения окажется отрицательным, то это означает, что действительное направление искомого перемещения направлено в противоположную сторону.

5.7. Правило П. Верещагина

На практике часто встречаются случаи, когда на отдельных участках стержни имеют одинаковые физические и геометрические параметры, а одна из подынтегральных функций изменяется линейно. Тогда при учёте только изгибающего момента интеграл Мора принимает следующий вид:

Подынтегральные функции представляют собой функции, по которым строят соответствующие эпюры (рис. 5.16).

Без учёта жёсткости, переходя к интегрированию по координате х,

b

На рис. 5.16 эпюра Мm представляет собой эпюру, построенную от того или иного силового фактора, равного единице (единичная эпюра), а эпюра Мn представляет собой эпюру, построенную от действия заданной внешней нагрузки. Такую эпюру называют эпюрой действительного состояния или грузовой.

63

множения эпюр. Перемножить две эпюры это значит найти площадь одной из них и умножить на ординату, снятую на другой эпюре и находящуюся под центром тяжести первой. Знак произведения считается по-

ложительным, если обе перемножаемые эпюры находятся по одну сторону стержня. Следует помнить, что если перемножаются две прямолинейные эпюры, то не имеет значения, на какой из них брать площадь, а на какой ординату. Если одна из перемножаемых эпюр является криволинейной, то

необходимо брать площадь именно криволинейной эпюры. Перемножать эпюры можно только на тех участках, на которых обе эпюры являются не ломаными и жёсткостные характеристики поперечных сечений являются постоянными. В противном случае перемножение эпюр необходимо осуществлять по участкам. Тогда выражение (5.30) примет вид

В качестве примера (рис. 5.17) покажем перемножение двух трапеций.

65

Полученное выражение носит название формулы трапеции.

В прил.1 приводятся наиболее характерные случаи перемножении эпюр.

5.8. Определение перемещений от действия температуры

Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде:

сечений (рис. 5.18) элемента, имеющего бесконечно малую длину dz

сечений вдоль оси, перпендикулярной оси z. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры.

Пусть верхнее волокно элемента dz нагрето на t1, а нижнее на t2. При этом t1 t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения верхнее волокно удлинится на t1 dz , а нижнее на t2dz. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.18, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента dz.

Выражение (5.33) соответствует тому состоянию элемента dz, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента dz поворачиваются на угол

Деформация сдвига в элементе dz не возникает, т.е. уn 0.

Подставляя (5.33) и (5.34) в (5.32), получим интеграл Мора для опреде-

66

ления температурных перемещений.

dz

αt2dz αt2dz 2 2

Рис. 5.18

Интеграл Мора (5.35) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся на прямолинейных или ломаных стержнях, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.

нейтральной оси, в формулах (5.35) и (5.36) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид t2 t1 t2 /h y , где у расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков:

если деформации элемента dz от температуры и от единичной силы аналогичны, то знак соответствующего слагаемого в формулах (5.35) и (5.36) будет положительным и, соответственно, наоборот.

67

5.9. Определение перемещений от осадки опор

При перемещениях опор любой статически определимой конструкции в её опорных закреплениях опорные реакции не возникают.

Пусть опора В рамы, представленной на рис. 5.19, получила осадку на величину . При определении линейного перемещения произвольной точки, например к, в единичном состоянии к этой точке в направлении иско-

мого перемещения прикладывают сосредоточенную силу F 1. От действия этой силы определяют опорные реакции.

Рис. 5.19

На основании принципа возможных перемещений можно составить следующую аналитическую зависимость:

Fk k Rb 0;

k Rb .

В соответствии с третьим уравнением в (5.37) можно записать общую формулу для определения перемещений от осадки опор:

Произведение в (5.38) считается положительным, если опорная реакция направлена в противоположную сторону от осадки опор.

68

6.РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

6.1. Понятие о статической неопределимости

Статически неопределимыми называются системы, для которых внутренние или внешние силы не могут быть определены из уравнений статики. Для того чтобы решить такие системы, необходимо составить дополнительные уравнения к трём уравнениям статики.

По способу составления таких уравнений (что называется раскрытием статической неопределимости) в строительной механике разработано несколько методов. Каждый из этих методов предполагает выбор из заданной системы основной. Одним из первых был разработан метод сил.

Статически неопределимые системы имеют так называемые «лишние» связи. «Лишними» могут быть как внешние, так и внутренние связи. Поэтому различают как внешнюю, так и внутреннюю статическую неопределимость.

Число лишних связей определяет степень статической неопределимости системы:

где К – количество замкнутых контуров системы; Ш – число однократных шарниров.

Замкнутым считается такой контур, который полностью ограничен стержнями рамы или стержнями и землёй. Цифра 3 означает , что замкнутый контур является трижды статически неопределимой системой.

Выражение (6.1) является частным случаем выражения (1.1) и предназначено для определения статической неопределимости плоских рам. Если после определения степени статической неопределимости n 0, это означает, что рассматриваемая рама не обладает необходимым минимумом связей и поэтому не может быть использована в качестве сооружения. В случае для n система обладает необходимым минимумом связей, является статически определимой и при правильном расположении этих связей, не допускающих любой геометрической изменяемости рамы, может быть использована в качестве сооружения. В случае n 0 рассматриваемая рама обладает «лишними» связями, является статически неопределимой и может быть использована в качестве сооружения.

Так, для рамы, показанной на рис 6.1, K = 2; Ш = 4. Подставляя эти данные в выражение (6.1), получим

69