1580

y

B

H

M

C

A

o x

Для нахождения уравнения сторон треугольника воспользуемся

Пусть АН – высота, опущенная из вершины А на сторону ВС. Най-

дем ее уравнение в каноническом виде: x x0 y y0 . Так как высо- m n

та опущена из точки А, то x0 xA 3; y0 yA 1. Для нахождения

Пусть АМ – медиана, проведенная из вершины С на сторону АВ. По определению медианы, точка М делит отрезок АВ пополам. Координаты середины отрезка находим по формулам

39

Для вычисления периметра треугольника АВС сложим длины всех его сторон: Р АВ АС ВС .

Так как AB 2;6 , AC 3;2 , ВC 5; 4 ,

то АВ 4 36 40,

АС 9 4 13; ВС 25 16 41.

Тогда периметр треугольника Р 40 13 41. 2. Назвать кривые, построить.

40

а) 24x2 49y2 1176.

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 1176. Име-

эллипса F1(5,0) и F2(–5,0). Эксцентриситет эллипса 5 .

7

П о с т р о е н и е .

y

24

б) 24x2 49y2 1176.

Решение. Для построения кривой приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого разделим обе части равенства на 1176. Име-

Его диагонали лежат на асимптотах гиперболы, определяемых урав-

41

Эксцентриситет гиперболы 73 . 7

П о с т р о е н и е .

y

24

в) 4x2 y2 16x 4y 0.

Решение. Имеем общее уравнение кривой 2-го порядка. Так как А=4; С=1; В=0; A C 0 , то имеем эллипс.

Преобразуем уравнение 4(x2 4x) (y2 4y) 0;

4(x2 2 2x 22) 4 22 (y2 2 2y 22) 22 0;

4(x 2)2 (y 2)2 20; (x 2)2 (y 2)2 1 5 20

x x x0 x 2;

y y y0 y 2.

В системе координат Ox y уравнение кривой будет иметь кано-

нический вид x 2 y 2 1.

520

По с т р о е н и е.

42

y

y

2 x

3. Найти расстояние от точки M0 2; 3;1 до плоскости, проходящей

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точ-

ки M1, M2, M3:

Вычисляем определитель, раскладывая по первой строке:

1 x 1 3 y 1 1 z 1 0; x 1 3y 3 z 1 0;

x 3y z 5 0 уравнение плоскости, проходящей через точки M1,

M2, M3.

Теперь используем формулу расстояния от точки до плоскости:

43

Решение. Найдём координаты вектора BC:

BC 1 3; 1 1; 2 4 2; 2; 2 .

Получившиеся числа являются коэффициентами перед x, y, z в уравнении плоскости , перпендикулярной BC :

: 2x 2 y 2z B 0.

По условию, точка A принадлежит , координаты A удовлетворяют уравнению плоскости:

2 2 2 3 2 2 B 0;

4 6 4 B 0;

B 14.

Уравнение : 2x 2 y 2z 14 0 или x y z 7 0.

2x y z 8 0.

Решение. Угол между плоскостями совпадает с углом между их нор-

6.Написать каноническое уравнение прямой:

x y 3z 4 0;

x y z 1 0.

44

Решение. Чтобы составить каноническое уравнение прямой, необходимо найти её направляющий вектор и точку на прямой.

Направляющий вектор прямой a находим как векторное произведение векторов-нормалей плоскостей: a n1 n2.

n1 1,1, 3 ; n2 1,1,1 .

4i 4 j 0k 4i 4 j 4; 4;0 .

Найдём какую-нибудь точку на прямой. Положим, например, y 0. Тогда получим систему

x 3z 4 0;

x z 1 0;

4z 5 0;

z 5. 4

Тогда x 5 1 0; x 1.

Составляем каноническое уравнение прямой:

7. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

45

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

x 1 y 1 z 3 t

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

2t 1 2 4t 1 t 3 1 0;

2t 1 8t 2 t 3 1 0;

5t 1 0; t 1.

РАЗДЕЛ 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.1. Типовой расчет

1 . Задания по теме «Комплексные числа»:

а) представить комплексное число в показательной форме, изобразить на комплексной плоскости;

46

б) выполнить действие и результат записать в показательной форме;

в) найти все корни, сделать проверку для одного корня; г) выполнить действие, результат записать в показательной

форме и изобразить полученное число точкой на комплексной плоскости;

д) найти корни уравнения, сделать проверку.

2. Найти пределы числовых последовательностей или установить их расходимость.

3. Найти пределы функций.

4. Исследовать функцию на непрерывность. Установить тип точек разрыва и изобразить график функции в окрестности этих точек.