1580
.pdf2. а) y x2ex ; в) y |
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; с) y |
x 3 |
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y e |
x |
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cos x |
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x3 |
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3. 3x3 y2 2xy 3x y 4 0 . |
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4. x 2cost; |
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y tsin 2t. |
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5. cos890 . |
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6. y 3sin |
x |
. |
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4 |
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7. y tg |
1 |
x; |
x0 . |
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8. y xx2 . |
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9. а) y |
1 |
; б) y |
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x2 |
. |
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3 x2 |
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3 |
x 1 |
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10. y cos2x; |
; |
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. |
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2 |
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2 |
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Вариант № 14 |
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1. f (x) |
1 |
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; x0 |
1; |
x 0,01. |
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1 |
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2. а) y x2e3x ; б)y |
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x |
1 |
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; г) y 2 |
x |
. |
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2 |
1 |
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x |
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3. 3x3 y 3xy2 3x2 y2 xy 0. |
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x 2t cost; |
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4. |
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y t2 sin2t. |
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5. 5 |
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240 |
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6. y |
3 |
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7. y x2 3x 2; |
x0 2. |
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8. y x5x . |
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9. а) y |
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x |
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; б)y |
2x2 3x 5 |
. |
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x |
2 |
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2 |
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5x |
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79
10. |
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y tg |
x |
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; |
|
; |
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. |
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2 |
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2 |
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Вариант № 15 |
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1. f (x) |
1 |
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; |
x0 |
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1; |
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x 0,1. |
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x3 |
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x2 |
1 |
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2 |
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2. а) y x2e2 x ; б) |
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y 3 cos x ; в) y |
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; г) y 2(1 x |
) . |
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x |
2 |
1 |
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3. 2x2 y3 xy2 3x2 6xy 0. |
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4. x t 2sin 2t; |
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2t tcos2t. |
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5. 3 |
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. |
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26 |
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6. y ln(sinx). |
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7. y x2 5x 6; |
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x0 1. |
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8. |
y (3x)2x . |
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1 |
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9. а) y 2x |
2 |
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; б) |
|
y |
x2 |
2x 2 |
. |
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x |
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x 1 |
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x |
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10. |
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y sin |
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; |
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; |
. |
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2 |
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2 |
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2 |
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Вариант № 16 |
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1. |
f (x) x2 ; |
x0 |
1; |
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x 0,01. |
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2. а) y |
|
ex |
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y |
cos |
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; в) |
|
|
y arccos |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
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; б) |
|
|
sin x |
y x |
2 ln x; г) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
x |
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3 |
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2 |
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x |
3. xy3 y3 x2 2 0.
4. x t(tcost 2sint);y t(tsint 2cost).
5. arctg0,97.
1
6. y x2 1 .
7. y2 4 x в точках пересечения с осью Ох.
80
8. |
y (3x)2x . |
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9. а) y |
2x |
|
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; б) |
y |
8 |
. |
||||
2 x2 |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
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x2 4 |
||||||
10. |
y |
1 |
; |
1;3 . |
|
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||||
2 |
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||||||||
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|
x |
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Вариант № 17 |
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1. |
f (x) x3 ; |
x0 |
0; |
x 0,01. |
|
y |
ex 1 |
|
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|
|
2. а) |
y cos x3 |
|||||
ex e x ; б) |
||||||
|
|
|
3. x3 ln y x3ey 0.
x sint cost;
4. y at a t .
5. 15,8.
1 ; в) y x2 ln(x 4); г) y arcsin x3 .
6. |
y |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
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x |
2 |
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1 |
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7. |
y |
x3 |
; |
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x0 1. |
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3 |
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8. |
y (cosx)sin x . |
|
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||||||||||||||||
9. а) y |
3x4 1 |
; б) y |
1 |
. |
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||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
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|
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||||||||||||||||
|
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x2 3 |
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|
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||||||
10. y |
|
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1 |
|
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; 2;5 . |
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|||||||||
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x |
2 |
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1 |
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Вариант № 18 |
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1. |
f (x) |
1 |
|
|
; |
x |
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|
1; |
x 0,1. |
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||||||||||
x2 |
0 |
|
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x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
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|
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|||
2. а) y |
e |
e |
|
; б) y x3 ln(x2 |
4x); в) |
y cos3 |
|
; г) y arctg |
1 |
. |
||||||||||||||||
|
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|
x |
||||||||||||||||||||||
x |
e |
x |
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|||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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|
e |
|
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|
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|
x3 |
|||||||
3. |
y cos y xsin y. |
|
|
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|
|
|
|
|
x ln(1 t2);
4.
y arcctgt.
81
5. tg460 .
x
6. y x2 1.
7. y 8 ;
4 x2
8. y (cosx)x
9. а) y x
3 x2
10. y
1
x2 1
x0 2.
.
;б) y x2 2x 2.
x1
;1;1 .
Вариант № 19
1. f (x) х |
; x0 0; |
x 0,01. |
|
|
|
|
||||||
2. а) y |
ex e x |
; б) |
y sin3 |
|
; в) |
y x3 cos(x2 1); г) |
y arcctg |
1 |
. |
|||
x |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
|
ex |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3. x2 y2 ln x 4 0.
|
|
|
3 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||
|
|
|
|
t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||
4. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||
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|
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|
|
|||
|
|
|
4 |
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
y |
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. y x2 e2x; |
|
|
x0 0. |
|
|
|
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||||||||||||||||
8. |
y (sinx)cos x . |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
9. а) y |
2x3 1 |
; б) |
y |
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
||||||
10. |
|
y |
|
|
|
x |
|
; |
|
2;2 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 20 |
|
|
|
||
1. |
f (x) x3 |
; x0 |
|
1; |
x 0,01. |
|
|
|
|
||||||||||||||
2. а) |
y |
ex |
e x |
|
; б) |
y ln(cosx); в) |
y x2 sin x2; г) |
y arccos |
|
. |
|||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
3. x3 y2 3xy 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. x ln(1 t2 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y t arctgt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5. 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6. |
y |
x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y 4x- x2 в точке пересечения с осью Ох. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8. |
y (sinx)ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. а) y |
|
2 x |
; б) y |
x2 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
10. y x2 |
1 |
; |
|
1 |
; 2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 21 |
|
|
|
|||
1. |
f (x) x2 ;x0 |
2; |
|
|
x 0,01. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. а) y |
2cosx |
; б) |
y cos |
|
; в) |
y x2 sin3x; г) |
y arcsin |
1 |
. |
|||||||||||||||||
tgx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ex 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
3. xy3 5xy x2 2 0.
x 2et;
4.
y t 3t2.
5. sin440 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
y |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
y sin3x; |
|
x0 |
. |
|
|
|||||||
6 |
|||||||||||||
8. |
y cosxsin x . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
9. а) y x |
4 |
|
|
; б) |
y |
8 |
. |
||||||
x2 |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 4 |
||||||
10. y х 2 |
|
; 1/9;4 . |
|||||||||||
х |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 22 |
||
1. |
f (x) x3 ; |
x0 |
0; |
|
x 0,01. |
83
2. а) y ex 1 ; б) y x3 3x; в) y x2 lg(x 1);
2сosx
г) y arcsin (sin 8x).
3. xy3 2x2y2 x2 4 0.
x 2t2 t;
4.
y 2t 3t2.
5. sin910 .
6. |
y |
3x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
7. |
y cos5x ; x |
|
|
. |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
5 |
|
8.y (tgx)sinx .
13
9.а) y x x ; б) y x2 3.
10. y 3x x3 ; 0;3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 23 |
|
1. |
f (x) |
1 |
; x0 |
1; |
x 0,1. |
|
|||
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2. а) y |
2arcsin x |
; б) |
|
y cos3(2x 1); в) |
y x3(x2 23x); |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
г) |
y arctg(x |
1 x2 |
). |
|
3. x2 y3 x2 y x2 y 0. x
x 2t2 3;
4.
y t2 4t3.
5. cos890 .
3x
6. y x2 4 .
1
7. y sin 2 x;
8. y (sin x)x .
x0 3 .
84
9. а) y |
x |
; б) y |
x2 2x 2 |
. |
2 x2 |
|
|||
|
|
x 1 |
10. y x2 2x; 0,5;2 .
|
|
|
|
|
Вариант № 24 |
|||||
1. |
f (x) x4 ; x0 0; |
x 0,01. |
|
|
|
|||||
2. а) y |
3tg x |
; б) y sin 4 |
|
; в) |
y |
|
cos(x2 1); |
|||
x 2 |
||||||||||
x |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
||
г) |
y arcctg(1 e2x). |
|
|
|
|
|
|
3. x2 y2 2xy 3x3 y 0.
x 2t2 5t;
4.
y 3t2 4t 1.
5. cos590 .
6. |
y |
x3 |
|
. |
|||
x 1 |
|||||||
|
|
|
|||||
7.y sin |
x |
; |
x0 . |
||||
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
8.y (sinx)x .
x1
9.а) y x2 4 ; б) y 1 x2 .
10. |
y |
|
4 |
8x 15; |
2; 0,5 . |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 25 |
|
1. |
f (x) x3 ; x0 |
0; |
x 0,1. |
|
|||||||
2. а) y |
|
x2 1 |
|
; б) |
y log2(cos x); в) |
y x2 sin2 x; |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3tgx 1 |
|
|
|||||
г) |
y arccos |
1 x2 |
. |
|
|||||||
3. 2x3y2 2xy 3x 3y 7 0. |
|
85
x 2t3 t2;
4. |
|
|
|
|
|
|||
|
y 3t4 t. |
|
|
|
|
|||
5. cos910 . |
|
|
|
|
|
|||
6. |
y |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
||
7. |
y x2 3x 2; |
x0 2. |
||||||
8. |
y (cosx)lnx . |
|
|
|
||||
9. а) y |
x 2 |
; б) |
y |
x2 |
. |
|||
|
||||||||
x3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
10. y x x ; 0;9 .
5.2. Пример выполнения типового расчета
1. Вычислить приращение функции f (x) |
1 |
|
в точке x0 |
1, соответ- |
|||||||||||
x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ствующее приращению аргумента x 0,02. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Воспользуемся формулой |
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ). |
|
|
|||||||||||||
Для данной функции получим |
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
0,0404 |
|
101 |
. |
|||
(1 0,02) |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
1,0404 |
|
1,0404 |
|
2601 |
2. Найти производные функций:
а) y ex 2х .
2
Решение. Используем правило вынесения постоянного множителя за знак производной и правило дифференцирования разности:
86
|
|
x |
2 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
x |
2 |
x |
ln2 |
|
|||
y |
|
e |
|
|
|
|
e |
x |
|
|
2 |
х |
|
|
e |
x |
2 |
х |
ln2 |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y lncosx .
Решение. Используем правило дифференцирования сложной функ-
ции: f g x f (g) g (x).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y |
ln |
cos x |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
(cos x) |
|
|||||||||
|
|
|
cos x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
cos x |
2 cos x |
|
|
|||||||
|
|
sin x |
|
|
1 |
tg x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что этот результат можно было получить, представив
функцию в виде 1lncosx.
2
в) y e x ln x.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и производной сложной функции. Получим
y |
|
(e |
x |
lnx) |
|
|
-x |
|
lnx e |
x |
|
x |
lnx |
e x |
|
||
|
(e |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
) |
|
(lnx) e |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
г) y arccos |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Используем формулу производной сложной функции. Получим
1 |
|
1 |
|
||
y (arctg |
|
) |
|
|
|
x2 |
1 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
3.Продифференцировать
2xy2 x2 y x2 2 0.
1 |
) |
x4 |
2 |
|
2x |
|||
( |
|
|
( |
|
) |
|
. |
|
x2 |
x4 1 |
x3 |
x4 1 |
неявно заданную функцию
87
Решение. Продифференцируем обе части данного уравнения по переменной x, учитывая при этом, что y является функцией аргумента х. Получим
(2xy2 x2 y x2 2)x 2y2 4xyy 2xy x2 y 2x 0.
Из этого равенства выразим производную yx :
4xyy x2y 2xy 2y2 2x, откуда y 2xy 2y2 2x .
4xy x2
4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:
x 2cost2;
y sint 3t.
Решение. Используем правило дифференцирования функции, задан-
ной параметрически: yx |
yt |
. |
|
|
|
|||||
xt |
|
|
|
|||||||
|
|
(sint 3t) |
|
|
cost 3 |
|
3 cost |
|
||
Получим yx |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
||||||||
(2cost2) |
|
2( sint2) 2t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
4tsint2 |
5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 531.
Решение. |
|
|
|
Используем |
|
|
|
|
приближённое |
|
равенство |
||||||||||||||||||
f (x) df (x) f (x) x, верное при малых значениях x . Откуда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Преобразуем |
|
|
|
сначала |
|
|
|
|
|
|
исходное |
выражение: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Положим f (x) 5 |
|
; x0 1; |
||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
5 32(1 |
|
) 25 1 |
|
|
. |
x |
|||||||||||||||
31 |
32 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
32 |
32 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
x |
. |
Производная равна f (x) |
; f (1) 1. |
Окончательно |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
31 |
|
|
15 |
|
|
55 x4 |
|
|
|
||||||||
имеем 5 |
|
2(1 1 ( |
|
)) |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
88