Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1580

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

г)

lim

x4 x4 1

; д) lim

3 x2

6 x5

x 9x3 4

x 0 3 x7

з)

lim

x 1

; и) lim(1

)5; к)

x x 1

; е) lim	tg2x	;	ж) lim			cos3x	;


x 0 sin7x
			x			x
				2

1					2

lim 4x 1 .

x 1 0

		x 1	x, x 0;
4. а)		x 1		2
	f (x)		; б) f (x) x		1, 0 x 1;
	f (x)	2x2 x 3	; б) f (x) x		1, 0 x 1;
		2x2 x 3	0, x 1.
			0, x 1.

Вариант № 21

1. а) z =

5,42e

48,40 j

10,26e 21,810 j

3 j ; г)

3 j; б)

;

в) 3

;

5,73e22,190 j

д) x2 6x 10 0.

2n 1 5n 1

2. а) 2,1;2,11;2,111; ; б)an

; в) an

x2 4x 2

2n 5n

3. а) lim

; б)lim

3x2 5x4

; в) lim

x2 3x 4

;

5x 4

x x 7x2 1

x x3 5x2

x 4 x2

г) lim(

);

д)

lim

; е) lim

tg7x

;

ж) lim

arcsin x

;

x 2

2x2

x 0 3

x 0 tg5x

x 0


x 1	2x		lim 1		7	x
з) lim		; и)				;

					x
x x 1			x
4. а) f (x)		x 5		; б) f (x)

	x2 2x 16

1 3j

1. а) z = 3 j; б) 1 2 j ; в)

к) lim 4x 2 .

x 2 0

x3, x 0;

0, 0 x 1;

x 1, x 1.

Вариант № 22

			3,65e8,240 j	7,38e32,150 j
3 4		4j ; г)
	3					;
	3			0	j	;
				2,24e 14,82	j

д) x2 10x 26 0.

2. а) 1,2;1,22;1,222; ; б)an

4n 1

5n 1

; в)

3. а) lim

3x2

; б)lim

3x 5x

;

в)

lim

;

x4 x 1

x 2x

x 5 x

4x 5

lim

; д)

lim

sin x

;

г)

x2 2x

; е)

3 x

x 0

x 0 tg5x

1 cos4x

ж)

lim

; з)

lim 1

;

и)

lim 1

; к)

lim 4x 2 .

x 0

x 2

x 2 0

x 0;

x 2

1 x

4. а) f (x)

; б)

f (x) 0,

0 x 2;

x 6

x 2.

x 2,

Вариант № 23

1. а) z = 2; б)

1 3j

;

в)

; г) 17,21e26,10 j

1,28e 27,19 j

;

1 2j

0,45e 13,44 j

д) 2x2 6x 5 0.

4n 1 3n 1

2. а) 1,3;1,33;1,333; ; б)an

; в) an

n2 sin n .

3x5

4x2

4n 3n

x2 25

3.а)

lim

; б)lim

x2 5x4

; в) lim

;

x4 x5 3x

x 2x2 5x3 1

x 5 x

4x 5

lim

x ; д)

; е) lim

sin6x

lim

4 x

г)

x2 x

;

x 0 3 x

12 x5

x 0

sin

х 5

x 1

lim

ж)

; з)

lim 1

; и) lim

;

к)

lim 2x 3.

x 0 5x

х 1

x 3 0

	4. а) f (x)	x 3
	4. а) f (x)	x2 4x 3
		x2 4x 3

1		,	x 1;

	x
			1 x 2;
; б) f (x) x,
3,			x 2.

Вариант № 24

3 j

8,310 j

8,16e23,170 j

3 3 3j ; г) 15,24e

1. а) z = 3 3 3j; б)

; в)

;

0,71e6,32

3 2j

д)

г)

з)

4x2 16x 17 0.

а) 1,4;1,44;1,444; ; б)an

4n 1

7n 1

; в) an n3 cos n.

4n 7n

x4 4x2 1

а) lim

; б)

lim

; в) lim

;

x 3x

x x2 5x5 9

x 5 x2 4x 5

sin6x

sin2

x5 4

1 x

; е) lim

lim

; д) lim

;

ж)

;

x 03 1 x 1

x 0 3 x2 6

x 0

x 0 4x

х 5 x 2

lim 1

; и)

lim

; к)

lim

2x 3 .

х 1

x 3 0

4. а) f (x)

x 2

; б)

sin x,

x 0;

(x)

х 0.

2 7x 10

Вариант № 25

14,110

1. а) z = 2 + 2j; б)

3 4j

в) 3

; г) 4,38e51,620 j

8,62e

;

2 2j

;

0,95e 12,24

4 3j

д) x2 2x 37 0.

4n 1 7n 1

2. а) 1,7;1,77;1,777; ; б)an

; в) an cos

2x4 4x2

4n 7n

3. а) lim

; б)lim

x2 x3

; в)

lim

x2 1

;

4x 5

x x4 2x2 3

x x2 x5 4

x 1 x

г)lim

; д) lim

4 x3

; е)

x 2

x 0 3 x2 44 x

; з) lim 1

x; и)

lim

ж)

1 cos6x

lim

x 0 5x

lim	sin2 6x			;
		4x	2
x 0
х 3		x 2		1
			; к) lim 6			.
					3 x
х 2
				x 3 0

			x 1	2	x,	0 x 1;
4. а) f (x)			x 1
				; б) f (x) 4	2x,	1 x 2,5;
	x	2	7x 8	; б) f (x) 4	2x,	1 x 2,5;
	x		7x 8			2,5 x .

				2x 7,

4.2.Пример выполнения типового расчета

1.Задания по теме «Комплексные числа».

а) Представить комплексное число в показательной форме, изо-

бразить на комплексной плоскости: z 1											3i.
Решение. Вычислим модуль и аргумент комплексного числа:
										2; tg
																	3
x 1; y		r	z		1 2				2
	3;							3											3;
	3;							3											3;
														1
														1
x 0; y 0;		arg z arctg													2	.
						3									2
						3
											3		3							2
							2					2								2	i


Следовательно, 1				3i 2 cos							isin					2e		3 .
Следовательно, 1				3i 2 cos			3				isin	3				2e		3 .
							3					3

-1		x
	- 3
z

б) Выполнить действие 1 3i . Результат записать в показатель- 2 i

ной форме.

Решение.	1 3i	=	1 3i 2 i			2 i 6i 3			5 5i	1 i.
	2 i		2 i 2 i			4 1			5

Приводим комплексное число 1 i к показательной форме. Вычислим модуль и аргумент комплексного числа.

x 1; y 1;		r	z	12 12	2	;
tg 1;	x 0; y 0;		argz arctg1				.

			4

	1 3i		i
			i
Окончательно имеем		=1 i 2e4 .
Окончательно имеем	2 i	=1 i 2e4 .
	2 i

в) Найти все корни41 i. Сделать проверку для одного корня. Решение. Приводим комплексное число 1 i к тригонометрической форме:

x 1; y 1;

12 1 2

1; x 0; y 0;

arg z arg( 1)

;

1 i

2 cos

isin

Следовательно, по

формуле

(cos

2 k

isin

2 k

где k 0,1,2,..,n 1, имеем

						2 k			2 k
					4	2 k		4	2 k
4	1 i	8			4		isin	4
4		8	2	cos
			2	cos		4			4	.
						4			4

Полагая k =0,1,2,3, найдем

z0 8						8

	2	cos		isin			2	cos		isin
			16		16				16

z 8					7	isin	7		k 1;

	2			cos				,

1					16		16

z2 8					15	isin	15		k 2;

	2		cos					,
					16		16

					23		23
z3 8						isin			k 3.
	2	cos						,
					16		16

, k 0; 16

		Сделаем проверку для корня z										0 8

													2	cos			isin					.
													2	cos	16		isin		16			.
															16				16
										4
z	4		8			isin		4		4		4	isin			4						2	i	2


	0	(		2 cos			)		2	8	(соs							)		2(					)
	0	(		2 cos	16		)		2	8	(соs	16			16			)		2(				2	)
					16	16						16			16						2			2

1 i.

г) Выполнить действие 0,27e i620 0,63e176,190 , результат записать

24,28e144,210

в показательной форме и изобразить полученное число точкой на комплексной плоскости.

Решение.

1)	0,63еi176,190	0,63	ei(176,190 144,210 ) 0,026еi31,980	0,026(соs31,980
	0
	24,28еi144,21	24,28

isin31,980) 0,026cos31,980 i0,026sin31,980 0,02 i0,0138;

2)0,27е i620 0,27сos( 620) i0,27sin( 620) 0,27(0,469 i0,883)

0,126 0,238i;

3) 0,27e i620	0,63e176,190	0,126-0,238i+0,02+0,0138=0,146–0,224i.
	0
	24,28e144,21

4) Приводим комплексное число 0,146–0,224i к показательной форме. Вычислим модуль и аргумент комплексного числа.

x 0; y 0; arg z arg 0,224 56,840; 0,146

0,146 i0,224 0,269е i56,840 ;

5) 0,27e i620 0,63e176,190 0 0,269e i56,840 .

24,28e144,21

0,146

-0,224

д) Найти корни уравнения x2 2x 2 0, сделать проверку.

Решение.

	D ( 2)2 4 1 2 4.
x	2			2 2i		2		2	i 1 i.
		D

1,2	2		2		2		2

Проверка:

1 i 2 2(1 i) 2 1 2i i2 2 2i 2 0.1 i 2 2(1 i) 2 1 2i i2 2 2i 2 0.

2. Найти пределы числовых последовательностей или установить их расходимость.

а)(an):	1		1		1		1		( 1)n 1
		;		;		;		; ;		;
	2		4		6
						8			2n

Решение. Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности ( 1)n 1, предел которой не

определён, и сходящейся последовательности 1 , предел которой ра-

вен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней. Тогда

lim an	lim	( 1)n 1	lim	1	0

n	n 2n		n 2n

и последовательность сходится.

n2 2

б)an 3n 1 .

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида . Для её

раскрытия разделим числитель и знаменатель на n.

					1	2
			n2 2			2

lim a	n	lim		lim		n2	1 0		1	,
						n2	1 0		1
							3 0
n		n 3n 1		n	3	1	3 0	3
					3

последовательность сходится.

в) an ncosn2 .

Решение. Представим данную последовательность в виде произве-

дения двух последовательностей: a				n	b	c	n	, где		b	n,c cosn2 .
	lim b			n	n		n			n	n
Очевидно,	lim b		. Последовательность c						n	в силу свойств косину-
	n n								n
са является ограниченной: 1 cn 1. Таким образом,											члены последова-
тельности an	при	n будут принимать как неограниченно боль-

шие, так и неограниченно малые значения. Следовательно, данная последовательность является расходящейся и предел её не определён. 3. Найти пределы функций:

а)	lim	x2		x 2	.
			2	x 2
	x 3x

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида . Для её

раскрытия разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень х относительно числителя и знаменателя, т.е. на x2 .

						1		2
	x2 x 2					1				1 0 0	1	.
lim	x2 x 2		lim			1	x		x2	1 0 0	1
lim			lim			1		2
x 3x2 x 2				x		1		2		3 0 0 3
						3
						3	x		x2
б) lim		x2 8x			.
б) lim					.
x 3x2 2x3				3

Решение. В данном случае снова имеем неопределённость вида .

Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень х относительно числителя и знаменателя, т.е. на x3 .

							1	8
			x2 8x								0 0
		lim	x2 8x		lim		x		x2		0 0	0.
		lim			lim			3			0 2 0	0.
		x 3x2 2x3 3			x 3			3			0 2 0
							2
		x2 4				x	2			x2
в) lim		x2 4		.
в) lim	2	5x 14		.
x 2 x	2	5x 14

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида 0. Чтобы

раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель:

lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

5x 14

x 2 x2

x 2 (x 2)(x 7)

x 2 x 7

г) lim

x 1

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида 1 .

Чтобы раскрыть её, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:

x 1

lim

x 1

x x 1

x 1

lim

x 1


д) lim	x 43	x	.


x 0 3	x2 3	x		0
Решение. В данном случае имеем неопределённость вида				0	. Чтобы
Решение. В данном случае имеем неопределённость вида					. Чтобы
		0

раскрыть её, введём подстановку t6 x. Заметим, что t 0, при

x 0. Получим

lim

t3 4t2

lim

t 4

x 0 3 x2 3

t 0 t4 t2

x 0 t2 1

е) lim

2x2

x 0 sin2 5x

Решение.

В данном случае имеем неопределённость вида

. Чтобы

раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы

применение первого замечательного предела lim sin x 1.

x 0 x

	2x2				1	(5x)2		1		5x 2	2	12	2
lim				2lim					lim					.
		2					2
x 0 sin			5x		25	(sin5x)		25 x 0 sin5x			25		25
				x 0

Замечание. При выполнении этого задания можно использовать эквивалентность бесконечно малых функций.

lim

2x2

sin x ~ x,x 0 lim

2x2

x 0 sin2 5x

x 0 (5x)2

ж) lim

cosx

Решение. В данном случае имеем неопределённость вида 0. Чтобы

раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного

предела lim sin x 1. Введём подстановку t x. Заметим, что

x 0 x

t 0

при x

. Получим

cos x

cos(

sint

lim

t 0

t 0 t

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.34 Mб71576.pdf
#
07.01.20211.34 Mб01577.pdf
#
07.01.20211.34 Mб111578.pdf
#
07.01.20211.34 Mб141579.pdf
#
07.01.2021317.66 Кб1158.pdf
#
07.01.20211.35 Mб181580.pdf
#
07.01.20211.35 Mб261581.pdf
#
07.01.20211.35 Mб51582.pdf
#
07.01.20211.35 Mб31583.pdf
#
07.01.20211.36 Mб11584.pdf
#
07.01.20211.36 Mб41585.pdf