Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1580

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

6. yV yIV 2x 3.

2x y;

7. dt

dy 14x 3y.

Вариант №10

1. x

dx y

dy 0.

5 y2

4 x2

2. y

21 x2

y 0 3.

3.y ctg2x 2y .

4.y 4y 4y 0; y(2) 4; y (2) 0.

5. а) y 5y 4xe5x ;					б) y 5y 4x 3.
6.	yIV		2y y 4x2 .
	dx
7.				3x y;

	dt
		dy		4x y.

	dt

Вариант №11

1.y 4 ex dy exdx 0.

2.y xy x3; y 0 3.

3.x4 y x3 y 1.

4.y 8y 16y 0; y(0) 1; y (0) 2.

5. а)y 6y 13y e4x (x 3);					б) y 6y 13y 6x 5.
6.	yIV		4y 4y x x2 .
	dx
7.				3x y;

	dt
		dy		3x y.

	dt

139

Вариант №12

y xy2 x 0.

4 x2

2xy

, y 1 3

1 x

;

1 x2

xy 2y 0.

y 3y 2y 0;

y(0) 1; y (0) 1.

5. а)y 4y 3y (x2 2)ex ;

б) y 4y 3y x2 2.

y y 6x2 3x.

x 2y;

2x 5y.

Вариант №13

1.2xdx 2ydy x2 ydy 2xy2dx.

2.y 1 2x y 1; y 1 1.

3.1 x2 y 2xy x3 .

4.	y 6y 10y 0;				y(0) 1; y (0) 0.
5.	а)y y y 3xe2x ;					б) y y y 3x2 2.
6.	yIV		3y 3y y 2x.
	dx
7.				x 4y;
				x 4y;
	dt
		dy		2x 3y.
				2x 3y.
	dt

Вариант №14

1. x4 y2 dx y1 x2 dy 0.

2. y	3y		2	; y 1 1.
	x	x3

3. x5y x4 y 1.

140

4.	25y 20y 4y 0;				y(0) 2; y (0) 1.
5. а) y 2y 5y (x2 1)ex;						б) y 2y 5y x2 1.
6.	yIV		2y y 2x 1 x .
	dx
7.				5x 4y;

	dt
		dy		2x 11y.

	dt

Вариант №15

1. ex 8 dy yexdx 0.

y12

2.y x x3 ; y 1 4.

3.xy y 1 0.

4.	2y	5y
			2y 0; y(0) 0; y (0) 2.
5.	а)y y 12y (x2 1)ex ;			б) y y 12y x2	14.
6.	y 5y 6y x 1 2 .

dx x 7y;

7. dt

dy x 5y.

Вариант №16

1.5 y2 y y1 x2 0.

2.y 2 y x3; y 1 5.

3.xy y x 0.

4. y 2y y 0; y(0) 2; y (0) 4.

5.а)y 6y 5y 3cosx; б) y 6y 5y 3x2 4x 22.

6.y 13y 12y 18x2 39.

141

dx x 2y;

7. dt

dy 3x 6y.

Вариант №17

1.6xdx ydy yx2dy 3xy2dx.

2.y y 3x; y(1) 1.

			x
3.	tgx yIV y .
4.	y 4y 3y 0;			y(0) 1; y (0) 3;
5. а)y 2y 10y sin3x;					б) y 2y 10y 3x x2 1.
6.	y 5y 6y 6x2 2x 5;
	dx		6x 3y;
7.

	dt
		dy	6x y.
			6x y.
	dt

Вариант №18

1.yln y xy 0.

2.y 2x 5 y 5; y 2 4.

3.xy y x.

4.	2y		7y
4.	2y		7y	3y 0; y(0) 0; y (0) 5.
5. а)y y 2y 8sin2x;					б) y y 2y 2x2 3.
6.	y y			49 24x2 .
	dx		7x 4y;
7.

	dt
		dy	5x y.
			5x y.
	dt

142

Вариант №19

1. 1 ex y yex.

2. y y x 1ex; y 1 e.

3.y tg x y 1.


4.	y		2 2y		2y 0;
4.	y		2 2y		2y 0;	y(0) 1; y (0) 0.
5. а)y 2y 3y 4xex ;							б) y 2y 3y 4x3 2.
6.	y 13y 12y x 1.
	dx
7.				x 3y;
				x 3y;
	dt
		dy		6x 4y.
				6x 4y.
	dt

Вариант №20

1.1 x2 y xy2 x 0.

2.y y 2lnx; y 1 1.

3.y tg5x 5y .

4.	9y 12y 4y 0;			y(0) 0; y (0) 1.
5. а)y 7y 12y x2 e3x ;					б) y 7y 12y x2 2x 6.
6.	y y 6x 5.
	dx		5x y;
7.

	dt
		dy	3x 9y.
			3x 9y.
	dt

Вариант №21

1.6xdx 2ydy 2yx2dy 3xy2dx.

2.y y sinx; y 1 .

3.4y3y y4 1.

143

4.	y 2y 8y 0; y(2) 1;			y (0) 5.
5. а)y 5y 4y 4x2 e2x ;				б) y 5y 4y 4x2 3x.
6.	y y 3x2 2x 1.
	dx		7x 3y;
7.

	dt
		dy	5x y.

	dt

Вариант №22

1.y 1 ln y xy 0.

2.y y x2; y 1 1.

3.y 128y3.

4.y 4y 0; y(0) 0; y (0) 2.

5. а) y 2y y e2x(sin2x cos2x);				б) y 2y y 3x 4.
6.	yIV		3y 3y y x 3.
	dx		6x 4y;
7.

	dt
		dy	2x y.
			2x y.
	dt

Вариант №23

1. 3 ex yy ex.

2x2

1 x2

y 1 x

2 ; y 0 3.

64.

y y

y 2y 10y 0;

y(0) 0; y (0) 1.

5.а) y 2y 2y 7xex ; б) y 2y 2y 7x 2 3x 1.

6.y 4y 32 384x2 .

144

5x 3y;

7. dt

dy x y.dt

Вариант №24

1. 3 y2 1 x2 yy 0.

2. y	y	x2 2x; y 1	3	.
	x 2
		2

3.y 2sin ycos3 y 0.

4.2y 5y 2y 0; y(0) 0; y (0) 1.

5.а) y 12y 36y ex sin3x; б) y 12y 36y 4x2 3x 7.

6.3yIV y 6x 1.

dx		6x y;


7. dt
	dy	7x 2y.

dt

Вариант №25

1. xdx ydy yx2dy xy2dx.

2. y	y	ex x 1 ; y 0 1.

3.y 32sin3 ycosy.

4.y 5y 4y 0; y(0) 5; y (0) 8.

5. а) y 5y 6y (4x 5)ex ;				б) y 12y 36y 6x2 x 5.
6.	y y 5x2 1.
	dx		8x 7y;
7.

	dt
		dy	2x y.

	dt

145

8.2. Пример выполнения типового расчета

Решить дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений. Если указано начальное условие, решить задачу Коши.

1. tgxsin2 y dx cos2 x ctg ydy 0.

Решение. Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Обе части уравнения разделим на

sin2 y cos2 x 0(по ОДЗ уравнения),			получим		sinx	dx	cos y	dy.
sin2 y cos2 x 0(по ОДЗ уравнения),			получим		cos3 x	dx		dy.
					cos3 x		sin3 y
Проинтегрировав обе части уравнения, найдем общее решение
	1	1		C.
	cos2 x	sin2		C.
	cos2 x	sin2	y

2. y tgx y cosx; y(0) 1.

Решение. Поставлена задача Коши. Дифференциальное уравнение является линейным, первого порядка. Полагаем y u . Тогда уравнение принимает вид

u tgx u u cosx.	(2)
Найдем u из условия
u tgx u 0.	(3)

Решая его, получим u 1 . Константу, возникающую при инcos x

тегрировании уравнения (3), здесь отбрасываем. Найденное значение

u подставляем в							(2)	и после преобразований									имеем уравнение
	d	cos2			x, откуда υ cos2					xdx	1	x	1		cos2x C.
		cos2			x, откуда υ cos2					xdx		x			cos2x C.
	dx								2			4
		Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
			1		1			1
	y			x		cos2x	C			. Используем теперь начальное условие
	y		2	x	4	cos2x	C			. Используем теперь начальное условие
			2		4			cosx						1			3
для нахождения константы:									y(0) 1:			1		1		С; С	3	.
												4					4

Следовательно, решение задачи Коши имеет вид

146

1			1		3	1
y		x		cos2x			.
	2		4		4	cosx

3. y y 0.

Решение. Это дифференциальное уравнение второго порядка, допус-

кающее понижение порядка. Применив подстановку y p; y p dp, dy

преобразуем уравнение к виду y dp ydy 0. Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид y 2 y2 С12. В получившемся дифферен-

циальном уравнении разделим переменные, получим

dx.

С2 y2

Интегрируя, находим

решение arcsin

x С2

или

С1

y С1

sin x С2 . Знак включен в постоянную С1.

Это общее решение исходного уравнения. Его можно преобразо-

вать к виду

y С3 sin x С4 cosx,

где С3

С1 cosС2;

С4 С1 sinС2.

4. y

7y 0;

y(0) 2; y (0) 0.

Решение. Поставлена задача Коши для линейного дифференциального однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Ищем общее решение уравнения. Составляем характеристиче-

ское уравнение: t2 6t 7 0. Его решениями являются	t 1;
	1

t2 7. Корни характеристического уравнения действительные, различные, поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y C1ex C2e 7x .

Используем начальное условие y(0) 2. Подставляя в общее решение, получаем 2 C1 C2 .

Чтобы использовать условие на производную решения, продифференцируем общее решение:

147

y C1ex 7C2e 7x .

Теперь используем условие y (0) 0. Получаем уравнение

0 C1 7C2 .

Решаем систему получившихся уравнений

C1 C2 2;C1 7C2 0.

Находим решение системы C								7	; C			1	. Итак, решение задачи
Находим решение системы C								4	; C				. Итак, решение задачи
	7			1			1	4		2	4
	7		x	1		7x	.
Коши имеет вид	y	e			e
Коши имеет вид	y	e		4	e
	4			4

5. y 1 y 1 y 3e2x. 2 2

Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

t2	1	t	1	0 имеет корни t						1; t			2				1		, так что общее решение со-
t2		t		0 имеет корни t						1; t									, так что общее решение со-
2		2				1									2
2		2													2																	1
																										С ex С						1	x
ответствующего уравнения без правой части есть y																																	x
ответствующего уравнения без правой части есть y																									0						e 2 .
																									0				1	2
	Остается найти какое-либо частное решение исходного уравне-
																											1	x	(А – постоян-
																												x
ния. Частное решение будем искать в виде Y A e2
ная).							1
							1	x
								x
	Подставляем Y A e2 в исходное уравнение, получаем
					1				1		1			1						1	x		1	x
					1				1		1			1							x			x
						A						A			A e2							3e2 .
					4	A			2		2	A		2	A e2							3e2 .
					4				2		2			2
																1		x
																		x	, получаем A 6.											Искомое
	Приравнивая коэффициенты при e2																		, получаем A 6.											Искомое

частное решение Y 6 e2 . Общее решение уравнения имеет вид

148

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.34 Mб71576.pdf
#
07.01.20211.34 Mб01577.pdf
#
07.01.20211.34 Mб101578.pdf
#
07.01.20211.34 Mб131579.pdf
#
07.01.2021317.66 Кб1158.pdf
#
07.01.20211.35 Mб181580.pdf
#
07.01.20211.35 Mб261581.pdf
#
07.01.20211.35 Mб41582.pdf
#
07.01.20211.35 Mб31583.pdf
#
07.01.20211.36 Mб11584.pdf
#
07.01.20211.36 Mб41585.pdf