1580

7.2,011,02 .

8.z x2 2x 1 2y2.

6.2.Пример выполнения типового расчета

1.Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: x y2 1 0. Уравнение x y2 1 0 задаёт на коор-

динатной плоскости xOy параболу y2 x 1, вершина которой находится в точке (1; 0), ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что

лежат на параболе y2 x 1.

y

О 1 x

2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

a)z ln xy.

109

Решение.

б) z x4 y5.

Решение.

zx (x4 y5)x y5 (x4 ) 4x3y5; zy (x4 y5)y x4 (y5) 5x4 y4 .

в) z xtgy .

Решение.

x zx (xt g y)x tg y x tg y; zy (xtg y)x x (tg y) cos2 y .

3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: z sin xy .

Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:

zx (sin xy)x ycosxy; zy (sin xy)y xcosxy .

Теперь находим производные второго порядка по переменным x

и y:

zxx (ycosxy)x y2 sinxy; zyy (xcosxy)y x2 sinxy.

Находим смешанные производные:

zxy zyx ( y2 sinxy)y ( y2) sinxy ( y2) (sinxy)y

2ysinxy xy2 cosxy.

110

4. Найти производную функции z 3xy в точке M0 (8; 1) по направ-

лению вектора l ( 1; 1).

Решение. Производная функции z f (x;y) по направлению вектора

Находим значения частных производных в точке M0 (8; 1):

Решение. Градиент функции двух переменных z f (x; y) равен

gradz z i z j.

x y

Найдём частные производные:

zx 2x y; zy 4y x.

111

Найдём значения частных производных в точке M0 (1; 1):

a) линеаризовать функцию в окрестности точки Д ;

б) составить уравнение касательной плоскости и нормали к по-

~

верхности z= (x,y) в точке Д .

Решение.

a) Линеаризуем функцию z x2 y2 в окрестности точки Д, т.е. заме-

ним данную функцию линейной функцией в окрестности точки Д:

z f (x0 ; y0 ) fx (x0; y0 )(x x0 ) fy (x0; y0 )(y y0 ).

Имеем x0 1; y0 1; f (Д) f (1,1) 2.

Найдем частные производные функции в точке Д:

заданной поверхности уравнение нормали имеет вид

x 1 y 1 z 2.

2 2 1

112

7. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 2,023 0,982 .

Решение. Воспользуемся приближённым равенством

f (x; y) df (x; y).

Отсюда f (x; y) f (x0 ; y0 ) df (x; y).

Рассмотрим функцию z x3 y2 . Найдём полный дифференциал этой функции:

Вычисление с помощью микрокалькулятора даёт результат 7,916.

8. Исследовать функцию z x2 y2 2xy на экстремумы. Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость xOy . Найдём частные производные данной функции:

zx 2x 2y; zy 2y 2x .

Производные первого порядка непрерывны на всей области определения функции. Для того чтобы найти стационарные критические точки функции, решим систему уравнений

Получили одну стационарную критическую точку M(0;0). Для того чтобы выяснить, является ли она точкой экстремума, найдём производные второго порядка.

zxx 2; zyy 2; zxy 2.

113

В данном случае A 2; B 2;C 2; D 4 4 8 0. В данной точке экстремума нет.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy x y в области 0 x 1;1 y 2.

Решение. Прежде всего, заметим, что данная функция непрерывна в рассматриваемой области. Найдём стационарные критические точки функции, принадлежащие указанной области. Частные производные

1)Уравнение отрезка АВ: x 0;1 y 2. Функция принимает вид z y . Функция линейная, принимающая наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка. Тогда z y 1 1; z y 2 2.

2)Уравнение отрезка СD: x 1;1 y 2. Функция принимает вид z 1. Функция постоянная. Тогда z y 1 1, z y 2 1.

114

3) Уравнение отрезка AD: y 1; 0 x 1. Функция принимает вид

zx 0 2; zx 1 1.

Сравнивая все полученные величины, имеем

minz z(0; 2), max z z(1;1) z(0;1) z(1; 2).

10. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице.

Построить по методу наименьших квадратов эмпирическую функцию y kx b для данной системы точек. Найти среднее квадратическое отклонение полученной прямой от системы точек. Решение. По заданной таблице построим точечный график функции.

y

4

3

2

1

По данным таблицы найдем значения параметров k и b функции приближения y kx b, для чего воспользуемся нормальной системой вида

115

РАЗДЕЛ 7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

7.1. Типовой расчет

Вариант №1

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x2 ; y 2x 3.

3.Найти длину дуги кривой y x2 lnx ; 1 x 2.

42

4.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx облас-

ти, ограниченной линиями yx 1; 1 x 5.

Вариант №2

117

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x2 9; y 0.

3.Найти длину дуги кривой y ln x2 1 ; 2 x 3.

4.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx облас-

ти, ограниченной линиями y2 6x; 3 x 5.

Вариант №3

2.Вычислить площадь, ограниченную кривыми y x2; y 4x 3.

3.Найти длину дуги кривой y ex e x 3; 0 x 4.

2

4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оx области, ограниченной линиями 3x y 0; 3x 4y 0; y 3.

Вариант №4

1. Вычислить неопределенные интегралы.

118