1561

технолог для выбора наилучшей очередности их обработки? 5.Германия имеет дипотношения с Россией и Китаем. Германия и Китай поставляют в Россию точное оборудование. Ввести бинарное отношение Т1 «иметь дипотношения», а также Т2 «поставщик– потребитель». Построить граф и матрицу смежности для Т1 и Т2 . Определить свойства бинарных отношений.

определить матрицу инцидентности, задать его списком дуг и изобразить графически.

7. Представить логической формулой составное высказывание «Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм».

8. Провести анализ -схемы.

на», W(x) «x женщина».

Записать формулы, выражающие следующие утверждения:1) у каждого есть бабушка; 2) x кузен; 3) у некоторых людей есть сестры.

Вариант № 23

1. Пусть Q – множество чисел вида 2n, а R – множество чисел вида 3n. Из чисел какого вида состоит множество S Q R?

2.Доказать тождество (A B) (A B) (A B) (A B).

79

3. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из слова «лето»?

4. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?

5.В структуру завода входят: администрация, бухгалтерия, механический цех, литейный цех, автотранспортный цех, отдел главного конструктора. Введено бинарное отношение T «руководящая структура

– подчиненное подразделение». Задать бинарное отношение T на графе и матрице смежности и определить его свойства.

определить матрицу инцидентности, задать его списком дуг и изобразить графически.

7. Представить логической формулой высказывание: «Если прямые а и b скрещиваются, то они не лежат в одной плоскости».

8. Провести анализ -схемы.

Записать формулы, выражающие следующие утверждения: 1) x шурин; 2) x тесть; 3) x сноха.

Вариант № 24

1. Даны множества A a,b,c,d,e, f ,k ; B a,b,d,k ; C b,c,e, f .

80

2. Доказать тождество (A\ B) (A C) A\ (B C). 3.Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на пять?

4.Десять книг расставляются на одной полке. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом две определенные книги оказались рядом?

5.Дано множество чисел Q 2,3,6,8,9 . Для этого множества задано

определить матрицу инцидентности, задать его списком дуг и изобразить графически.

7. Представить логической формулой высказывание: «Если диагонали данного четырехугольника не взаимно-перпендикулярны, то он не является квадратом».

8. Провести анализ -схемы.

81

Вариант № 25

1. Пусть A множество чисел вида 3n, а В – множество чисел вида 2n. Из чисел какого вида состоит множество M A B?

2. Доказать тождество ((A\ B) (B \ A)) (A B) A B.

3.На вершину горы ведут семь дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и вернуться назад?

4.Вратарь 10 раз выбрасывает мяч в игру. Предположим, что тренер рекомендовал подавать мяч каждый раз другому игроку своей ко манды. Сколько возможных вариантов может выбрать вратарь? 5.Сотрудники фирмы: директор, главный инженер, главный механик, главный бухгалтер, начальник отдела, кассир. Введено отношение

определить матрицу инцидентности, задать его списком дуг и изобразить графически.

7. Представить логической формулой высказывание: «Чем больше работаешь над проектом и анализируешь варианты, тем быстрее справишься с заданием и выберешь лучший вариант».

8. Провести анализ -схемы.

чина», W(x) «x женщина».

Записать формулы, выражающие следующие утверждения: 1) x золовка; 2) x дядя; 3) x внебрачная дочь y.

82

12.2.Пример выполнения типового расчета

1. Даны множества B a, c,d ; A a,b ; C b,c,d,e . Найти B C;

A B; A\ B; A B C.

Решение.

B C a,c,d b,c,d,e a,b,c,d,e . B A a,c,d a,b a .

A\ B a,b \ a,c,d b . A B a,b a,c,d a,b,c,d ; (A B) C a,b,c,d b,c,d,e b,c,d .

2. Доказать тождество A\B A\ A B .

Решение. A\ A B A\A A\B A\B A\B.

3.Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова “зеркало”?

Решение. В этом слове 4 согласные буквы и 3 гласные, поэтому число способов выбрать гласную букву – 4, согласную – 3. По правилу произведения, число способов выбрать гласную и согласную букву равно N=4 3 12 способам.

4. В полуфинале первенства России по шахматам участвуют 20 шахматистов, а в финал попадают трое. Сколькими способами может образоваться финальная тройка?

Решение. Надо подсчитать число соединений, которые можно составить из 20 элементов по три элемента. Каждое соединение отличается от другого только составом (порядок элементов в каждой тройке не важен). Поэтому эти соединения являются сочетаниями, и их число равно

5. Множество А характеризует членов семьи: A Дед, Отец,Сын . Для этого множества задано отношение T : «…быть родителем…».

Построить граф и матрицу смежности для отношения T . Определить свойства T .

Решение. Имеем отношениеT , состоящее из кортежей вида

Т Д,О;О,С .

Матрица бинарного отношения Т имеет вид

83

Граф отношения Т имеет вид

Отношение Т «…быть родителем…» антирефлексивно(отсутствиепетель),антисимметрично,антитранзитивно.

6. Для графа, представленного следующей матрицей смежности

графически.

Решение. Данная матрица смежности имеет четыре строки и четыре столбца, следовательно, в орграфе четыре вершины: 1,2,3,4. Зададим граф списком дуг: U (1,2),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2) .

Строим орграф.

Для построенного орграфа запишем матрицу инцидентности, элементы которой будем находить по правилу:

1, если дуга uj исходит из вершины аi ;

bij 1, если дуга uj заходит в вершину аi ;

0 в противном случае.

84

Матрица смежности будет иметь вид

7. Представить высказывание: «Для выхода на российский или мировой рынок фирме необходимо расширить ассортимент продукции и повысить ее качество» в виде логической формулы.

Решение. Пусть А – «Выход на российский рынок», В – «Выход на мировой рынок», С – «Расширение ассортимента продукции», D – «Повышение качества продукции». Так как высказывания C и D есть необходимые условия для А или В, то имеем формулу

(А В) (С D).

8. Провести анализ работы -схемы и минимизировать ее.

Решение. Используя соответствия между правилами соединения контактов реле и булевыми операциями, получим формулу

f (x,y) [(x x)y] [y y]. Упростим булеву функцию:

f (x,y) 1 y 1 y 1 1.

Упрощенная схема не будет содержать ни одного контакта. 9 . Синтезировать -схему по заданным условиям работы:

f (0,0,1) f (0,1,1) f (1,1,0) f (1,1,1) 1.

Решение. Выпишем СДНФ по заданным условиям работы -схемы:

f (x1,x2,x3) x1x2x3 x1x2x3 x1x2 x3 x1x2x3.

85

Минимизируем функцию проводимости, сгруппировав 1 и 2, 3 и 4 элементарные конъюнкции и применив закон склеивания.

f (x1,x2,x3) x1x3(x2 x2) x1x2(x3 x3) x1x3 x1x2.

По полученной булевой функции вычерчиваем требуемую - схему.

10. Пусть Р(х, у) – «х делит у», x, y N . Рассмотреть все варианты одновременной квантификации переменных двухместного предиката Q(x, y). Определить истинность получаемых выражений.

Решение. Формула х P х, y задает одноместный предикат – «Всякое натуральное число делит у» , который будет ложным, т.к. какое бы значение у из области определения не подставлять в эту формулу, всегда получится ложь.

Формула y P х, y представляет собой функцию переменной х– «Существует число, которое делится на х» . Предикат истинный для всякого натурального х.

Формула x y P x, y представляет собой высказывание– «Су-

ществуют такие натуральные числа, что одно из них делит другое» истина.

Формула x y P x, y представляет собой высказывание– «Существует натуральное число, которое делит всякое натуральное число» истина (1 делит все натуральные числа).

Формула x y P x, y представляет собой высказывание– «Всякое натуральное число делит все остальные натуральные числа»ложь.

Формула y x P x, y представляет собой высказывание– «У всякого натурального числа есть делители» истина (простое число делится на 1 и само на себя).Если предложение Р(х, у) сформулировать в виде: «х делит у и x y, x 1», то высказывание y x P x, y становится ложным.

86

РАЗДЕЛ 13. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

13.1. Типовой расчет по теме «Случайные события»

Вариант №1

1. Наудачу выбирается автомобиль с четырехзначным номером. Найти вероятность того, что а) это автомобиль Президента России;

б) номер не содержит одинаковых цифр.

2. В партии из 15 деталей имеются 10 стандартных. Наудачу отобрано 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 3

стандартные детали.

3. В ящике 20 изделий: 16 годных, 4 бракованных. Из ящика вынимают сразу 2 изделия. Какова вероятность, что оба изделия окажутся

а)годными, б) бракованными, в) хотя бы одно изделие будет годным? 4. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5. Найти вероятность

того, что среди них окажется хотя бы один туз.

5.Вероятность того, что танк наедет на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк подорвется на мине, если 15% мин имеют дефектные взрыватели?

6.Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет брако-

группе, вероятнее всего, принадлежит этот стрелок?

8.Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что среди вынутых наугад 4 изделий окажется 2 бракованных.

9. Вероятность того, что житель некоторого района имеет автомобиль, равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 жителей автомобиль имеют 6 жителей.

87

10. Вероятность того, что житель некоторого района имеет автомобиль, равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 жителей автомобиль имеют хотя бы 3 жителя.

Вариант №2

1.Цифровой кодовый замок на сейфе имеет на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на десять секторов. Какова вероятность открыть замок, набирая код наудачу, если кодовая комбинация

а) неизвестна б) не содержит одинаковых цифр.

2.В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара.

3.На завод привезли партию из 150 подшипников, в которую случайно попало 20 бракованных. Определить вероятность того, что из двух взятых наугад подшипников окажутся: а) оба годные; б) оба бракованные; в) хотя бы один годный.

4.В колоде 36 карт. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

5.Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он: а) промахнется все три раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет два раза.

6.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника 0,9; для велосипедиста 0,8; для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.

7. В магазин поступили телевизоры: 20 штук – из города А, 30

– из города В и 50 – из города С. Вероятность скрытого дефекта в телевизоре, изготовленном в городе А – 0,1; в городе В – 0,05; в

8.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0,51.

9.Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.

88