1561
.pdf
|
x |
|
|
|
||
0, |
|
|
|
; |
||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
f (x) cosx, |
|
|
|
x 0; |
||
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
||
0, |
x 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: 1) функцию распределения F x ; 2) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной
|
|
1 |
|
|
величины X; 3)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.Число атак истребителя, которым может подвергнуться бомбардировщик на территории противника, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона с математическим ожиданием а 3. Каждая атака с вероятностью 0,4 заканчивается поражением бомбардировщика. Определить вероятность поражения бомбардировщика.
6.Цена деления шкалы амперметра равна 0,5А. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка не более 0,1А.
7.Время Т безотказной работы дисплея распределено по показательному закону с математическим ожидание 5000 ч. Какова вероятность того, что конкретный дисплей проработает без отказа от
7000 до 10000 ч.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=10; =2; =11; =13; =5.
9.Номинальное значение контролируемого линейного размера детали (длины цилиндрического болта) равно 20мм. Среднее квадратическое отклонение равно 0,05мм. Найти процент деталей, для которых контролируемый размер X отклоняется от номинала по модулю а) не более, чем на 0,5%; б) от 0,5% до 1%; в) свыше 1%.
129
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №10
1.Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без возвращения, извлекают 3 шара. Случайная величина Х
– число черных шаров в выборке. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
–1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
Р(х) |
Р1 |
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
Найти |
Р1 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 3; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1, |
|
x 3. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0, 2).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
130
0, x 2;
|
|
2 x 3; |
f (x) a x 2 , |
||
|
0, |
x 3. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.Монету бросают до первого появления герба. Найти среднее число бросаний.
6.Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке 2;8 . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5).
7.Число отказавших за время Т элементов аппаратуры – случайная величина, распределенная экспоненциально ( 0,2). Указать плотность и функцию распределения, построить их графики, найти среднее число элементов, которые могут выйти из строя за время Т. Какова вероятность того, что число отказавших элементов заключено между 3 и 10?
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=11; =4; =13; =23; =6.
9.Пусть диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=4,5 см и =0,05 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм; б) первые две наугад взятые детали имеют диамет-
ры от 4,45 до 4,55 см.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, три шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара,
131
вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №11
1. Из колоды в 36 карт вынули 4 карты. Случайная величина Х принимает значения: 0 – если среди этих карт нет “цифр” и тузов; 1
– есть хотя бы один туз; 2 – в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,1 |
|
0,2 |
|
|
0,3 |
|
0,4 |
|
0,5 |
Р(х) |
0,2 |
|
Р2 |
|
|
0,1 |
|
0,1 |
|
0,3 |
Найти Р2 , функцию |
распределения |
F(x). Построить |
график |
|||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|||||
3.Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
при |
x 1; |
|
||
|
F x |
0,5 x 1 |
при |
1 x 3; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
при |
x 3. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
|
0, |
x 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) a sin2x, |
0 x |
|
|
; |
||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, |
x . |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
132
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X .
5.Число частиц, излученных радиоактивным элементом в течение произвольного промежутка времени, имеет распределение Пуассона с параметром а 1,5ч
с. Найти вероятность того, что число частиц, излученных за две секунды, будет заключено в отрезке 2;4 .
6.Цена деления шкалы вольтметра равна 0,5 В. Показания округляются до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка, не превышающая 0,025 В.
7.Время Т безотказной работы установки рентген-контроля аккумуляторных батарей имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1300 ч. Какова вероятность того, что данная установка проработает до выхода из строя а) менее 240 ч; б) от 240 до
480ч; в) более 1000 ч?
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое
отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=9; =4; =15; =19; =18.
9.Нормально распределенная случайная величина X задана
плотно- |
1 |
|
|
||
стью f x |
|
|
е x 1 2 /18. Найти математическое ожидание и |
||
|
|
|
|
||
3 |
|
2 |
|||
диспер-
сию X. Построить схематически график f x .
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
133
Вариант №12
1.Случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3. Х=0, если при бросании двух костей сумма выпавших очков меньше 2; Х=1, если сумма очков равна 2; Х=2, если сумма очков больше 2, но меньше 10; Х=3, если сумма очков превышает 10. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,2 |
|
0,4 |
|
|
|
0,7 |
|
0,8 |
|
1 |
Р(х) |
0,1 |
|
Р2 |
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
|||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|||||
3.Случайная величина X задана функцией распределения |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
при |
x 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F x |
|
|
при |
0 x 8; |
|
|
|
||
|
|
64 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
при |
x 8. |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, |
x 1; |
|
|
|
1 x 3; |
f (x) ax, |
||
|
0, |
x 3. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
134
5. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Найти среднее число опечаток на отдельно взятой странице. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее четырёх опечаток?
6.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, меньшая 0,01.
7.Вероятность выхода из строя компьютера за время работы t задается формулой: P(t) 1 e 0,000625t . Случайная величина Т– время работы дисковода до выхода из строя (в часах). Найти среднее время безотказной работы дисковода. Выписать формулу плотности вероятности для Т.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=8; =2; =5; =15; =8.
9.Случайная величина X подчинена нормальному закону распре-
деления с плотностью f x 0,1 е 0,01 x 2 2 . Найти: а) P 0 X 12 ; б)
интервал наиболее вероятных значений случайной величины.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и два шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №13
1. Из 500 студентов факультета 85 человек имеют фамилии на букву “К”. Берем произвольно трех студентов. Х – случайная величина, равная числу студентов с фамилией на К. Найти ряд распределения случайной величины.
135
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
Р(х) |
Р1 |
|
0,15 |
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
||
Найти |
Р1 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
|||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|||||
3.Случайная величина X задана функцией распределения: |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
при |
x 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F x |
|
|
при |
0 x 8; |
|
|
|
||
|
|
64 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
при |
x 8. |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
|
0 x 1; |
f (x) a 2x 1 , |
||
|
0, |
x 1. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
|
|
1 |
|
|
случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит 2 вызова?
6.Все значения равномерно распределенной случайной величины
Хлежат на отрезке 3;9 . Какова вероятность события X 4;6 ?
7.Случайная величина Т имеет плотность вероятности f (t) 0,037e 0,037t . Найти ее числовые характеристики: MТ, DT, T.
136
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=13; =4; =11; =21; =8.
9.Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть mx =176 см; Dx =3,6 см. Найти вероятность того, что хотя бы один из четырех наугад выбранных мужчин имеет рост от 174 до 178 см.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике три шара с номером 1, два шара с номером 2 и один шар с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №14
1. Случайная величина Х принимает значения 0 или 1. Х=0, если при подбрасывании двух правильных монет выпадает две одинаковые стороны (2 орла или 2 решки); Х=1 – в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
Р(х) |
0,2 |
|
Р2 |
0,25 |
|
0,1 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения |
F(x). Построить |
график |
||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
137
0, |
x 1; |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 3; |
|
|
|
||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
1, |
x 3. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 2;
|
a |
|
|
||
f (x) |
|
|
|
, 2 x 2; |
|
|
|
|
|||
4 x2 |
|||||
|
|
|
|||
0, x 2.
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X 1.
5. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,3. Сколько надо произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 70 попаданий в цель?
6.Минутная стрелка электрических часов на вокзале перемещается скачкообразно в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы показывают время, которое отличается от истинного не более чем на 10 с.
7.Время Т работы рессорного подвешивания до выхода из строя имеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 1250 ч. Какова вероятность того, что данный комплект рессор проработает до выхода из строя а) не менее 1250 ч; б) от 1250 до 2500 ч; в) менее 500 ч?
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина от-
138