1561
.pdfклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=14; =4; =10; =20; =4.
9. Диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=5 см и 2 =0,81. Найти вероятность того, что диаметр взятой наугад детали составит от 4 до 7 см.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, три шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №15
1.Из колоды в 52 карты вытаскивают 4 карты. Случайная величина Х - число дам. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
–1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
Р(х) |
0,1 |
Р2 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,3 |
|
0,2 |
Найти |
Р2 , функцию распределения |
F(x). Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
||||||||||||
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 5; |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1, |
|
x 5. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность
139
того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
3 |
, |
0 x 2; |
f (x) a 4 x x |
|
||
|
0, |
x 2. |
|
|
|||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5. К важнейшим характеристикам крови человека относится ре- зус-фактор. Ген «резус положительный» доминантен по отношению к гену «резус отрицательный». В одной из обследованных популяций вероятность того, что человек имеет положительный резус-фактор, равна 0,91. Для случайной величины Х – числа резус-отрицательных людей среди 1000 человек этой популяции – найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
6.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, вероятность того, что ошибка округления больше 0,05
7.Время Т ( в часах) безотказной работы элемента распределено по экспоненциальному закону с параметром 0,01. Указать плотность вероятности f (t) случайной величины Т, построить кривую распределения и найти среднее время безотказной работы элемента. С какой вероятностью элемент проработает безотказно не менее 200 ч?
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина от-
140
клонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=15; =2; =9; =19; =3.
9.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону распределения с параметрами а=16 км и =100 м. Записать функции распределения и плотности вероятности этой случайной величины и найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами от 15,75 до 16,3 км.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, один шар с номером 2 и четыре шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №16
1. Подбрасываются две игральные кости. Х – случайная величина, которая принимает значения: 0, если ни на одной кости нет 1; 1 , если на одной кости 1; 2, если на обеих костях по 1. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
-0,5 |
|
-0,4 |
|
|
|
|
|
-0,3 |
|
-0,2 |
|
-0,1 |
|
Р(х) |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
0,1 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 4; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1, |
x 4. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
141
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 3;
|
a |
|
|
||
f (x) |
|
|
|
, 3 x 3; |
|
|
|
|
|||
9 x2 |
|||||
|
|
|
|||
0, x 3.
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X 3 .
5. В течение часа коммутатор, установленный для включения телефонных аппаратов в офисах торговой фирмы, получает в среднем 90 вызовов. Считая, что число вызовов на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти среднее число вызовов, поступающих на коммутатор в течение 4 мин.
6. Поезд данного маршрута городского трамвая ждут с интервалом
5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через 1 мин. после ухода предыдущего поезда, но не позднее чем за 2 мин. до отхода следующего поезда?
7.Время Т безотказной работы измерительного комплекса имеет
экспоненциальное распределение с математическим ожидани-
ем
1,5 тыс.ч. Какова вероятность того, что комплекс выйдет из строя а) менее чем за 100 ч работы; б) не менее чем после 500 ч работы?
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
142
а=14; =4; =10; =20; =8.
9.Случайная величина X подчинена нормальному закону распре-
деления с плотностью f x |
0,1 |
|
е 0,01 x 2 2 . Найти: а) |
P 0 X 12 ; б) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
интервал наиболее вероятных значений случайной величины.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №17
1.Подбрасываются 3 игральные кости. Х – случайная величина, которая принимает значения: –1, если на всех костях одинаковое число очков; 0, если на костях разное число очков; 1 – в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
-1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
3 |
Р(х) |
0,1 |
|
|
0,2 |
|
0,25 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения |
F(x). Построить |
график |
||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
0, x 0;
1
F(x) x, 0 x 5;
5
1, x 5.
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность
143
того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
|
0 x 2; |
f (x) a 4x 1 , |
||
|
0, |
x 2. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.В течение часа коммутатор, установленный для включения телефонных аппаратов в офисах торговой фирмы, получает в среднем 120 вызовов. Считая, что число вызовов на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что в течение 6 мин. поступят три вызова; не менее трех вызовов.
6.Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение с характеристиками M X 2; D X 4
3. Найти f(x), F(x) и вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы раз попала в интервал 3,5 .
7..Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции яв-
ляется случайной величиной X, распределенной по показательному
закону со средним временем ожидания, равным t0 . Найти вероятность
того, что t0 2 x 3t0 2 .
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=15; =2; =8; =19; =8.
144
9. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть mx =176 см, Dx =3,6 см. Найти вероятность того, что хотя бы один из четырех наугад выбранных мужчин имеет рост от 174 до 178 см.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, один шар с номером 2 и четрыре шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №18
1. Пассажир забыл последнюю цифру номера шифра автоматической камеры хранения, но помнит, что она четная. Составить закон распределения случайной величины Х - числа сделанных им наборов шифра до открывания камеры, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
|||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
x 2; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F(x) |
|
|
|
x |
|
, |
2 x 2; |
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1, |
x 2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность
145
того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,1).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
|
0, |
x 0; |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) a x, |
0 x |
|
|
; |
|||
|
|||||||
|
|
1 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
0, |
x |
|
. |
|||
|
|
3 |
|
|
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с. испускало в среднем 3,87 –частицы. Найти вероятность того, что за 1 с. это вещество не испустит ни одной -частицы.
6.Цена деления шкалы амперметра равна 0,2. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,03 А.
7.Время Т работы лазерного принтера до выхода из строя имеет экспоненциальное распределение с плотностью f (t) 0,00042e 0,00042t . Найти вероятность того, что принтер проработает до выхода из строя не менее а) 2500 ч; б) 5000 ч; в) 10000 ч.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=8; =2; =6; =15; =8.
9.Станок-автомат изготавливает ролики, контролируя их диаметр D. Считая, что D распределено нормально (MD 5 cм, 2мм), найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадут диаметры роликов.
146
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и два шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №19
1. Из колоды в 52 карты наугад выбираются 2 карты. Х – случайная величина, равная: –1, если обе карты красные; 0, если одна карта красная, а другая черная; 1, если обе карты черные. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,2 |
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
0,6 |
|
0,7 |
Р(х) |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
0,15 |
|
0,25 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 2; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1, |
|
x 2. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,1).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
147
0, x 0;
|
|
0 x 1; |
f (x) a 1 x , |
||
|
0, |
x 1. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5. Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных символов; вероятность того, что будет искажено не более трех символов.
6.Непрерывная случайная величина задана своей функцией плотности
0, x 0; |
|
|
|
|
1 |
|
|
f(x)= 2, 0 x |
; . |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
0, x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность вероятности f(x); б) |
M[X] и D[X]; в) ве- |
||
роятность Р(–2<x<1/2). Построить графики F(x) |
и f(x). |
||
7.Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 0,1. Найти вероятность того, что в результате опыта X примет значения в интервале 1,3 .
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=9; =4; =5; =12; =18.
9. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина распределена нормально с параметром 0,4мм?
148