1561
.pdfХ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
Р(х) |
0,1 |
|
Р2 |
|
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
|
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
|||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, 1 x 3; |
|
|||||
|
|
4 |
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1, |
|
x 3. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале ( 1,1).
4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, |
x 1; |
|
|
|
1 x 2; |
f (x) ax, |
||
|
0, |
x 2. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа выпадений шестерки при трех бросаниях игральной кости.
6.Интервал движения теплоходов «Москва» на р.Иртыш состав-
ляет
3 ч. Дачники подходят к пристани в некоторый момент времени, не зная расписания. Какова вероятность того, что они опоздали на очередной теплоход не более чем на 15 мин.
7.Исследуется район массовой гибели судов в войне 1939–1945 гг. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t
119
задается формулой P(t) 1 e 0,04t . Пусть случайная величина Т – время, необходимое для обнаружения очередного судна (в часах). Найти среднее значение Т.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=8; =4; =15; =14; =6.
9.Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет. Каким должно быть среднеквадратическое отклонение x , чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, ошибка измерения не превышала 20 мкм по модулю?
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, три шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №5
1.Три орудия производят выстрел по цели. Вероятности попадания в цель для первого орудия – 0,6; для второго – 0,7; для третьего –0,5. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в цель. Найти ряд распределения случайной величины.
2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,1 |
|
0,2 |
0,3 |
|
0,4 |
|
0,5 |
Р(х) |
0,2 |
|
Р2 |
0,1 |
|
0,1 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения |
F(x). Построить |
график |
||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
120
3. Случайная величина X задана функцией распределения:
0, |
x 1; |
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 5; |
|
|
|
||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
1, |
x 5. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (2,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
f (x) |
a |
, |
x R. |
|
|||
1 x2 |
|
|
|
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X 1.
5.В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё пять раз подряд извлекают шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х – число извлечённых белых шаров, определить M(Х) и D(Х).
6.Интервал движения дизель-поездов через с. Новая Ляля на Урале составляет 6 ч. Туристы подходят к вокзалу в некоторый момент времени. Какова вероятность того, что поезд ушел 20 мин назад? Какова вероятность того, что до отхода следующего «дизеля» осталось не менее 3,5 ч.
7.Вероятность выхода из строя трансформатора за время эксплуатации t задается формулой: P(t) 1 e 0,002t . Случайная величина Т– время безотказной работы трасформатора. Найти математическое ожидание и дисперсию Т, если величина Т измеряется в часах.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина от-
121
клонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=8; =3; =9; =18; =6.
9.Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=164 см, =5,5 см. Записать функцию плотности вероятности; найти вероятность того, что 3 наугад выбранные женщины имеют рост ниже, чем 160 см.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №6
1. Случайная величина Х принимает значение, равное числу дам, которые появляются, если из колоды в 36 карт произвольно вытаскиваются 4 карты. Построить ряд распределения случайной величины.
2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
–0,5 |
|
–0,4 |
|
|
|
|
–0,3 |
|
–0,2 |
|
–0,1 |
||
Р(х) |
0,2 |
|
Р2 |
|
|
|
|
0,1 |
|
0,1 |
|
0,3 |
||
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 4; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1, |
x 4. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
122
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения;в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0, 2).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 1;
|
|
1 x 2; |
f (x) a 2x 1 , |
||
|
0, |
x 2. |
|
||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
|
|
1 |
|
|
случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.Стрелок производит по мишени 23 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Найти M(Х) и
D(Х).
6.Интервал движения трамвая равен 5 мин. Пассажир подходит к остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность того, что он подошел не ранее чем через минуту после ухода предыдущего тамвая, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего?
7.Непрерывная случайная величина Х распределена по
показательному |
закону |
с |
плотностью |
вероятности |
0 при x 0; |
|
|
|
|
f (x) |
Найти вероятность события Х (0,2;0,5) . |
|||
4e 4x при x 0. |
|
|
|
|
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое |
||||
отклонение |
нормально распределенной случайной величины Х. |
|||
Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=12; =5; =17; =22; =15.
9.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X её контролируемого размера от номинала не превышает по модулю 5мм. Предполагается, что случайная величина X распреде-
123
лена нормально с параметрами а 0 и 3 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике два шара с номером 1, один шар с номером 2 и три шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №7
1.Четыре стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,5; для третьего – 0,7; для четвертого – 0,8. Случайная величина Х принимает значение: 0– если все стрелки промахнулись, – если попал один стрелок, 2 – в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,1 |
|
0,2 |
0,3 |
|
0,4 |
|
0,5 |
Р(х) |
0,3 |
|
Р2 |
0,25 |
|
0,15 |
|
0,1 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения |
F(x). Построить |
график |
||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
0, x 0;
1
F(x) x, 0 x 5;
5
1, x 5.
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность
124
того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
0, x 0;
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) a 8x |
2 4x , |
0 x |
|
; |
|||
3 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
0, |
x |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|||
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
|
|
1 |
|
|
ние случайной величины X; 4)P |
0 X |
|
. |
|
2 |
||||
|
|
|
5.Случайная величина X имеет биноминальный закон распределения с числовыми характеристиками М(Х) 6; D(Х) 24. Определить вероятность попадания случайной величины X на отрезок
3,5;5,5 .
6 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, вероятность того, что ошибка округления больше 0,5.
7.Вероятность выхода из строя гидромуфты валопровода тепловоза за время эксплуатации t задается формулой P(t) 1 e 0,05t . Случайная величина Т – время работы гидромуфты до выхода из строя (в месяцах). Найти среднее время безотказной работы гидромуфты.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=11; =3; =17; =26; =12.
125
9.Каким должно быть среднее квадратическое отклонение , чтобы толщина X металлическое листа, выпускаемого заводом, отличалась от номинала 2мм не более, чем на 5% номинала, с вероятностью, не меньшей 0,99? Предполагается, что случайная величина X распределена нормально.
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, четыре шара с номером 2 и один шар с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №8
1.Случайная величина Х принимает значения, равные числу окрашенных деталей среди 3 отобранных, если в ящике 10 деталей и 6 среди них окрашены. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
Р(х) |
0,2 |
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
0,1 |
|
0,3 |
Найти |
Р2 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 2; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
2 x 2; |
|
||||||
|
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1, |
x 2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность
126
того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0, 1) .
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
|
0, |
x 0; |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
f (x) a sinx, |
0 x |
|
|
; |
|||
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x . |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X .
5.Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти закон распределения случайной величины X – числа годных деталей из пяти, выбранных наудачу. Определить числовые характеристики M(Х) и D(Х).
6.Минутная стрелка электрических часов на вокзале перемещается скачкообразно в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы показывают время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.
7.Время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону с плотностью f (t) 0,002e 0,002t . Найти вероятность того, что телевизор проработает безотказно не менее 1000 ч.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .
а=10; =8; =14; =18; =2.
9.Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 2 и средним квадратическим отклонением 3. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 случайная величина примет значение в результате испытания.
127
10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, один шар с номером 2 и четыре шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.
Вариант №9
1. Стрелок попадает в “яблочко” при одном выстреле с вероятностью 1/4 независимо от предыдущих выстрелов. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти ряд распределения случайной величины.
2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей
Х |
0,2 |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
0,8 |
|
1 |
Р(х) |
Р1 |
|
0,15 |
|
|
|
|
|
0,25 |
|
0,2 |
|
0,3 |
|
Найти |
Р1 , функцию |
распределения F(x). |
Построить |
график |
||||||||||
F(x). Найти М(Х),D(X), (X). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Случайная величина X задана функцией распределения |
|
|||||||||||||
|
|
|
0, |
|
x 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F(x) |
|
|
x |
|
, |
1 x 2; |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1, |
|
x 2. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,1).
4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
128