Физика_лек_pdf / Модуль 6. Магнитостатика. Магнитное поле

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух параллельных бесконечно длинных прямых токов. Пусть расстояние между ними R . Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I 1 на элемент dl другого тока I 2 . Ток I 1 создает магнитное поле, силовые линии которого

представляют собой концентрические окружности. В точке А направление о пределяем по правилу правого винта. Модуль магнитной индукции первого проводника с током:

Рассмотрим в точке А элемент dl . На этот элемент с током I 2 действует магнитное поле с силой Ампера, направление которой определим u1087 по правилу левой руки. Модуль этой силы:

Рассуждая аналогично, найдем силу , с которой магнитное поле тока I 2 действует на элемент dl проводника с током 1 I :

Сравнивая, видим, что: dF 1 = dF 2 , то есть два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой:

Если токи имеют противоположные направления, то можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая по той же формуле.

Циркуляция для магнитного поля в вакууме

Циркуляцией вектора п о замкнутому контуру называется интеграл вида:

где — вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; B l —

проекция вектора н а направление элемента контура; α — угол между и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме или теорема о циркуляции

вектора : циркуляция вектора п о произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной µ 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых

этим контуром

В законе полного тока N — число проводников с токами, охватываемых контуром l п роизвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта, ток противоположного направления

считается отрицательным. Так, исходя из рисунка, запишем:

Закон полного тока справедлив только для поля в вакууме.

Проверим справедливость теоремы о циркуляции н а примере магнитного поля прямого тока I . Ток перпендикулярен плоскости чертежа. Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса R (совпадает с силовой линией). Выберем направление

обхода контура — против часовой стрелки. В каждой точке этого контура о динаков по модулю и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна:

Принципиальное различие. Циркуляция вектора э лектростатического поля всегда

равна нулю, то есть электростатическое поле потенциально . Циркуляция вектора о тлична от нуля. Такое поле называется вихревым .

электростатике. Она позволяет находить б ез применения закона Био-Савара-Лапласа.

Магнитное поле соленоида и тороида

Соленоид — цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на общий сердечник.

Рассчитаем магнитное поле внутри соленоида, применяя теорему о циркуляции.

Рассмотрим соленоид длиной l , имеющий N витков, по которым течет ток I . Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр витков, то есть рассмотрим бесконечно длинный соленоид.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида, проведенное с помощью железных опилок, показывает, что внутри соленоида поле однородно, вне — неоднородное и очень слабое.

Выберем замкнутый контур, совпадающий с одной из линий магнитной индукции, например, ABCDA , и охватывающий все N витков. По теореме о циркуляции:

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех: по боковым участкам, по

. Отсюда магнитная индукция соленоида:

где — число витков на единицу длины.

Получили, что магнитное поле внутри соленоида однородно.

Тороид — кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора.

Магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Тороид можно рассматривать как достаточно длинный соленоид, свитый в кольцо.

Воспользуемся формулой магнитной индукции для соленоида:

Длину тороида l считают по средней линии, пренебрегая небольшим различием между внешней и внутренней окружностями кольца.

Поток вектора . Теорема Гаусса

Потоком вектора ( магнитным потоком ) через элементарную площадку dS н

азывается скалярная физическая величина, равная:

г де dS — площадка, которая пронизывается векторами магнитной индукции; B n = B cos α

— проекция вектора н а направление нормали к площадке; α — угол между и . Таким образом, поток — число силовых линий, пронизывающих элементарную площадку.

Вспомним, что число силовых линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной напряженности электростатического поля — есть модуль .

Поток вектора м ожет быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos α (определяется выбором положительного направления нормали

). Обычно поток вектора с вязывают с определенным контуром, по которому течет ток. Положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную этим контуром, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S равен:

Аналогично потоку напряженности Ô E , магнитный поток равен количеству пересечений с поверхностью силовых линий. Отсюда можно записать, что:

Фв = N = N вых – Nвход .

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии з амкнуты, то есть не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число пересечений, возникающих при

выходе линий и з объема, ограниченного некоторой замкнутой поверхностью S , всегда равно числу пересечений, возникающих при входе линий в этот объем. Поэтому для любой произвольной замкнутой поверхности S :

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора : поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Для однородного поля и плоской поверхности, перпендикулярной : , B n = B = cons t и магнитный поток Ф B = BS .

Измеряется магнитный поток в веберах [Ф]=Вб. 1 Вб — магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м2 расположенную

перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого 1 Тл. 1 Вб = 1 Тл · м 2 .

Если рассмотреть соленоид, состоящий из большого числа витков N , то магнитный поток через один виток соленоида площадью S равен: Ф 1 = BS . Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида, называется потокосцеплением :

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длины l .

Пусть контур находится во внешнем однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости рисунка. На перемычку будет действовать

магнитное поле с силой , направленной вправо и равной: F = IBl . При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершит работу:

dA = F · dx = IBl · dx = IB · dS ,

г де dS — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; B · dS = dФ — положительное приращение потока или поток через площадь, описанную перемычкой при ее движении. Тогда:

dA = I · dФ .

Таким образом, работа, совершаемая магнитной силой над участком контура с током или над проводником с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, описанную этим участком при своем движении.

Рассмотрим жесткий контур с током произвольной формы, находящийся в магнитном поле. Найдем работу, совершаемую при перемещении контура. Пусть перемещение контура будет бесконечно малым. Разобьем контур на малые элементы dl . Работа при перемещении каждого элемента контура аналогично: dA = I · dФ :

dAэл = I · dФэл ,

где dФэл — приращение магнитного потока, обусловленное перемещением элемента контура dl .

Просуммировав это выражение по всем элементам контура, получим выражение для работы магнитных сил при произвольном бесконечно малом перемещении контура:

где dФ — полное приращение потока через контур.

Чтобы найти работу, совершаемую при произвольном конечном перемещении контура, проинтегрируем последнее выражение:

где Ф 1 и Ф 2 — значения магнитного потока через контур в начальном и конечном положениях.

Таким образом, работа, совершаемая магнитными силами над контуром, равна произведению силы тока на приращение магнитного потока через контур.

Например, при повороте плоского контура в однородном магнитном поле из положения, в котором положительная нормаль к контуру и вектор н аправлены в противоположные стороны (в этом положении Ф 1 = – BS ), в положение, при котором и

с онаправлены (в этом положении Ф 2 = BS ), магнитные силы совершают над контуром работу: A = I · Ф = I ( Ф 2 – Ф 1 ) = I ( BS – (– BS )) = 2 IBS .

Явление электромагнитной индукции

В 1831 году английский физик М.Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, которое заключалось в следующем: в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного .

Классические опыты Фарадея.

Первый опыт : Если в замкнутый на гальванометр соленоид вдвигать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его движения наблюдается отклонение стрелки гальванометра, то есть возникает индукционный ток. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно катушки. При изменении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Для получения индукционного тока можно передвигать соленоид, оставляя неподвижным магнит.

Второй опыт : Концы одной из катушек, вставленных одна в другую, присоединяются к гальванометру, а через другую катушку пропускают ток. Отклонения стрелки гальванометра наблюдаются в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении катушек друг относительно друга.

В результате многочисленных опытов пришли к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром магнитного потока.

Опытным путем было также установлено, что значение индукционного тока совершенно не зависит от способа изменения магнитного потока, а определяется лишь скоростью его изменения.

Открытие явления электромагнитной индукции имеет большое значение — установлена взаимосвязь между электрическими и магнитными явлениями.

Обобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел к количественному закону электромагнитной индукции. При изменении сцепленного с контуром магнитного потока в контуре возникает индукционный ток, а это указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, которая получила название ЭДС индукции .

Закон Фарадея : ЭДС индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром

Этот закон является универсальным, так как ЭДС индукции ε i не зависит от способа изменения магнитного потока.

Общее правило для нахождения направления индукционного тока выведено в 1833 году Ленцем.

Правило Ленца : индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток.

Или: Индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать причине его вызывающей.

Правило Ленца выражает электромагнитную инерцию — стремление системы противодействовать изменению ее состояния.

Применение явления ЭМИ

Преобразование механической энергии в энергию электрического тока

Для этого используются генераторы . Рассмотрим принцип его действия. Плоская

рамка вращается в однородном магнитном поле р авномерно с угловой скоростью ω = const . Магнитный поток, сцепленный с рамкой площадью S , в любой момент времени равен:

Ф = Bn S = BS cos α = BS cos ω t ,

где α = ω t — угол поворота рамки в момент времени t .

При вращении рамки в ней будет возникать ЭДС индукции:

Максимальное значение функции sin ω t = 1. Тогда ε i = ε max = BS ω . Следовательно:

ε i = ε max sin ω t

Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращается рамка, то в ней возникает переменная ЭДС, изменяющаяся по гармоническому закону. Переменное напряжение снимается с витка с помощью щеток.

Превращение электрической энергии в механическую

Прибор — электродвигатель . Принцип его действия: через рамку, помещенную в магнитное поле, пропускают электрический ток. В соответствии с зависимостью:

на нее будет действовать вращающий момент и рамка начнет вращаться.

Самоиндукция. Индуктивность контура

Электрический ток, текущий по замкнутому контуру, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индукция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна

току . Следовательно, и сцепленный с контуром магнитный поток пропорционален току в контуре: Ф ~ I . Запишем через знак равенства:

Ф = LI .

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура .

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный магнитный

поток через соленоид: ψ = NФ 1 = NBS . Магнитная индукция соленоида:

В общем случае индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и среды, в которой он находится. Это аналог электрической емкости проводника, которая также зависит от формы проводника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды.

Измеряется индуктивность в генри [ L ] = Гн. 1 Гн = 1 Вб/А.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток. Следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС.

Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией .

Закон Фарадея для явления самоиндукции: .

Если индуктивность контура не изменяется L = const , то есть контур не деформируется и среда не меняется, то:

Знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность L контура.

Если ток в контуре со временем возрастает, то ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешнем источником, и тормозит его возрастание. Если ток в контуре со временем убывает, то индукционный ток направлен по току, обусловленному внешнем источником.

Взаимная индукция

Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2, расположенных близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток I 1 , то магнитный поток, создаваемый этим током, пропорционален I 1 . Обозначим за Ф 21 ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда: