Физика_лек_pdf / Модуль 2. Основы релятивистской механики

ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ

Тема 1. Основы релятивистской механики

Принцип относительности в ньютоновской и релятивистской механике

1. Теория относительности — фундаментальная физическая теория, охватывающая всю физику. Она возникла в начале XX века в результате преодоления принципиальных трудностей, с которыми столкнулась электродинамика и оптика движущихся тел. Настойчивые и мучительные попытки преодолеть эти трудности на основе гипотезы мирового эфира окончились неудачей. Теория относительности отказалась от использования гипотезы эфира. В ее основе лежат не гипотезы, а принципы или постулаты твердо установленные экспериментально. В этом сила теории относительности, причина ее успехов. В нашу задачу не входит подробное изложение истории теории относительности и экспериментального обоснования ее постулатов. Мы коснемся этих вопросов предельно кратко, чтобы лучше оттенить принципиальные моменты, глубже уяснить смысл постулатов и содержание теории относительности.

Творцом теории относительности является Альберт Эйнштейн. Теория относительности была изложена им в 1905 г. в основополагающей работе «К электродинамике движущихся тел». Многие результаты этой работы были получены ранее Лармором (1857–1942), Лорентцом и Пуанкаре (1854-1912). Однако и Лармор и Лорентц принципиально стояли на точке зрения неподвижного эфира, с которым связывалась преимущественная система отсчета. Ближе всего к теории относительности был Пуанкаре, который еще в 1898 г. дал критику понятия одновременности пространственно разделенных событий, повторенную в дальнейшем Эйнштейном. Пуанкаре заполнил также математические пробелы и устранил ошибки, допущенные Лорентцом. Однако принципиально новое и глубокое физическое понимание всей проблемы и последовательное построение теории относительности с единой точки зрения содержится лишь в упомянутой выше работе Эйнштейна, написанной к тому же без всякого влияния своих предшественников.

2. Начнем с повторения того, что было сказано в первом томе о принципе относительности в ньютоновской механике. Основной закон ньютоновской механики выражается уравнением

(101.1)

где F — сила, действующая на материальную точку, а r — радиус-вектор, определяющий положение последней относительно какой-либо инерциальной системы отсчета. Возьмем две инерциальные системы отсчета, одну из которых будем обозначать через S и называть неподвижной (или нештрихованной ), а другую — через S ', называя ее движущейся (или штрихованной). Пусть система S ' движется относительно системы S равномерно и прямолинейно со скоростью V . Если r и r ' — радиусы-векторы, определяющие положения движущейся материальной точки относительно этих систем отсчета в момент времени t , то они связаны между собой преобразованием Галилея

r = r ' + V t . (101.2)

При этом в ньютоновской механике предполагается, что время t абсолютно , т.е. одинаково во всех системах отсчета. Для простоты отсчет времени ведется с того момента, когда начала координат систем S и S ' совмещаются между собой. Это не отражается на общности рассуждений.

Дважды дифференцируя соотношение (101.2) по времени, находим формулы преобразования скорости и ускорения :

v = v ' + V , a = a '. (101.3)

Таким образом, ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея , т.е.

одинаково в обеих системах отсчета S и S '. Радиусы-векторы r и r ', скорости v и v ' не одинаковы. Однако разности радиусов-векторов, а также скоростей двух любых материальных точек одни и те же, поскольку они определяют относительные положения и скорость одной точки относительно другой. Сила F в ньютоновской механике зависит только от разностей радиусов-векторов и скоростей

взаимодействующих материальных точек. Поэтому она, а с ней и уравнение Ньютона (101.1) не меняются при преобразовании Галилея. То же относится и к дифференциальным уравнениям движения систем материальных точек в механике Ньютона. Таким образом, получается следующий результат:

Уравнения механики Ньютона, определяющие изменения состояния движения механических систем, инвариантны относительно преобразования Галилея.

Это положение называется принципом относительности Галилея . Ему можно дать также следующую формулировку:

Законы природы, определяющие изменения состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета, движущихся одна относительно друзой прямолинейно и равномерно, они относятся.

Дорелятивистская физика считала обе формулировки тождественными, поскольку при равномерном поступательном движении инерциальных систем отсчета относительно друг друга она не допускала никакого другого преобразования r и t , кроме преобразования Галилея. На самом деле вторая формулировка более общая , чем предыдущая, так как в ней не конкретизирован вид того преобразования координат и времени, относительно которого инвариантны уравнения механики. В дальнейшем, если не сделано специальной оговорки, принцип относительности понимается во второй формулировке .

3. Принцип относительности отнюдь не утверждает, что одно и то же физическое явление выглядит одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Дело в том, что одни только дифференциальные уравнения механики не определяют движение системы. К ним необходимо присоединить еще начальные условия , например задать координаты и скорости всех взаимодействующих частиц в определенный момент времени. А эти начальные условия меняются при переходе от одной системы отсчета к другой. Именно из-за различия начальных условий движение предмета, свалившегося с полки равномерно движущегося вагона, происходит вниз по прямой линии, если его рассматривать относительно самого вагона, тогда как относительно полотна железной дороги то же движение совершается по параболе. Вот почему в формулировке принципа относительности говорится не об одинаковости явлений, а об одинаковости законов , определяющих изменение состояний движения механических систем.

Системы отсчета и преобразования координат. Преобразования Галилея. Сложение скоростей

В классической механике рассматривается объемное трехмерное пространство. Положение в нем определяется тремя значениями координат, отсчитанными от начального положения, именуемого началом координат. Система координат и часы для измерения промежутков времени составляют систему отсчета. Наиболее распространенной является декартова система координат. Она проста и представляет три взаимно перпендикулярные оси X , У, Z , проходящие через начало координат — точку О (рис. 4.1). Отрезки Ох, Оу, Oz называют декартовыми координатами х, у, г точки А.

Положение точки А на плоскости задается упрощенной системой отсчета ХО Y (рис. 4.2). Координаты точки в такой системе определяются величинами отрезков Ох и Оу и обозначаются как х и у.

Положение точки А может быть выражено координатами в различных системах отсчета. На рис. 4.3 изображена на плоскости точка А и две системы отсчета: XOY и Х 'О' Y ' . Очевидно, что оси X и X ' этих систем совпадают, а расстояние между осями Y и Y ' равно OO '. В системе XOY координата х определяется величиной отрезка Ох, а координата у — величиной отрезка Оу. В системе Х'О' Y ' координата х' определяется величиной отрезка О'х', а координата у' — величиной отрезка О'у'. Таким образом, при заданных положениях систем отсчета имеет место следующая связь между координатами точки А: у = у', х = х' + OO '. В дальнейшем для простоты рассуждении будем рассматривать системы отсчета, имеющие различие только по одному направлению — оси X . Переход от координат точки А в одной системе отсчета к координатам этой же точки в другой системе отсчета называют преобразованиями координат. Системы отсчета могут изменять положение относительно друг друга с течением времени. В наиболее простом случае этого можно достигнуть, если одну из систем отсчета считать неподвижной, а другую — подвижной.

Классическая физика основана на понятиях пространства и времени. Под абсолютностью времени понимают одинаковый ход времени в разных системах отсчета. Это значит, что длительность единицы времени (например, секунды) в любых системах отсчета имеет одну и ту же величину и не зависит от того, покоится система отсчета или движется. Под относительностью времени понимают разный ход времени в подвижной и неподвижной системах отсчета. Длительность единицы (например, секунды) относительного времени в подвижной и неподвижной системах отсчета имеет разную величину. В современной науке превалирует концепция относительности времени над ньютоновской концепцией абсолютности времени. Высказанные утверждения в отношении относительного времени следует понимать как то, что ход времени в системе отсчета зависит от скорости движения этой системы отсчета.

Под абсолютностью пространства понимают неизменность размеров тела и локального пространства в разных системах отсчета. Если пространство абсолютно, то

Формула (4.4) представляет правило сложения скоростей в классической механике, если скорости совпадают по направлению.

Рассмотрим примеры о преобразованиях Галилея и сложении скоростей .

Пример 1. Вагон движется со скоростью v = 5 м/с. В вагоне на расстоянии х' = 6 м от начала вагона находится человек. В момент, когда начало вагона поравнялось с километровым столбиком, включается секундомер. На каком расстоянии х от километрового столбика будет находиться человек в вагоне при показании секундомера t = 10 с? Ответ: согласно преобразованию (4.2) х = 6 + 5 ∙ 10 = 56 м.

Пример 2. В закрытом вагоне вдоль его продольной оси летит бабочка со скоростью и. Вагон привели в движение, и он движется прямолинейно и равномерно со скоростью v . Определить скорость w бабочки относительно земли. Решение. Так как бабочка летит за счет отталкивания воздушной среды, находящейся в вагоне, а эта среда вместе с вагоном движется относительно земли, то скорость w согласно (4.4) равна: w = и + v .

Пример 3. Этот пример соответствует условиям предыдущего с той лишь разницей, что вместо вагона взята открытая платформа. Решение. Так как бабочка, как и в первом случае, имеет скорость и относительно воздуха и открытая платформа, двигаясь со скоростью v , не увлекает вместе с собой атмосферный воздух, то скорость w движения бабочки относительно земли сохранится равной скорости и, то есть w = и.

Пример 4. По полу закрытого вагона ползет черепаха со скоростью и. Вагон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v . Определить скорость w движения черепахи относительно земли. Решение. Так как пол вагона движется со скоростью v , а черепаха относительно пола движется со скоростью и, то w = и + v .

Пример 5. Этот пример соответствует условиям предыдущего с той лишь разницей, что вместо вагона взята открытая платформа. Решение. Так как черепаха продолжает двигаться по платформе со скоростью и, несмотря на возникшее сопротивление воздуха, а платформа движется со скоростью v относительно земли, то скорость w согласно (4.4) равна w = и + v .

Принцип относительности Галилея

При равномерном прямолинейном движении вагона без толчков на стыках рельсов и при закрытых окнах пассажиру невозможно определить, движется вагон или нет. Это явление еще более ощущается в каюте корабля и в салоне самолета, движущихся равномерно и прямолинейно. В классической механике это явление формулируется так: «Если в неподвижной системе отсчета (вагоне) наблюдать действие различных законов механики, а затем придать этой системе отсчета инерциальное (равномерное, прямолинейное) движение, то действие этих законов механики не изменится». Это значит, что если пассажир сидит или что-то делает в вагоне, то его действия не изменятся от того, стоит ли вагон или движется равномерно, прямолинейно. Не изменится при этом и движение пассажира или наблюдение его за другим пассажиром. Первым на это свойство систем обратил внимание Г. Галилей, и оно вошло в физику как принцип относительности Галилея. Основной особенностью принципа относительности считается следующее: если система отсчета находилась в покое, а затем ей придали равномерное, прямолинейное движение, то в этой системе ничто не должно измениться; не изменятся силы, действующие на тела, а также не изменятся характеристики движения тел, то есть теми же останутся уравнения, характеризующие их ускорения, скорости, путь и т.д. Принцип

относительности доступно изложил А. Эйнштейн в работе «О принципе относительности»: «Представим себе равномерно движущийся по прямолинейному пути вагон. Пусть его окна не пропускают воздух и свет; рельсы и колеса пусть будут абсолютно гладкими. Пусть в вагоне находится физик, вооруженный всеми мыслимыми приборами. Тогда мы знаем, что все опыты, проделываемые физиком, проходят точно так, как если бы вагон покоился или двигался с другой скоростью. Это и есть в сущности то утверждение, которое физики называют «принципом относительности».

Принцип относительности Галилея является предшественником первого закона Ньютона.

Рассмотрим пример , иллюстрирующий принцип относительности. Стол с идеально гладкой поверхностью находится на земле, а другой такой же стол — в прямолинейно и равномерно движущемся вагоне. В каждом случае производится один и тот же эксперимент: шар толкают вдоль стола с такой силой, что он получает ускорение а = 1 м/с 2 , и наблюдают за его движением, определяя скорость шара и пройденный им путь через время t = 4 с. Согласно принципу относительности Галилея в обоих случаях (в подвижной

инеподвижной системах отсчета) должны соблюдаться законы, определяющие в

равноускоренном движении через заданное значение ускорения а скорость v = at и путь s = at 2 /2. Согласно этим законам оба эксперимента дадут одинаковые результаты v = 4 м/с

иs = 8 м.

Естественный интерес представляет описание принципа относительности самим Г. Галилеем. Оно изложено в работе «О двух системах мира, птолемеевой и коперниковой» и

подлинно выглядит так: «Уединитесь... с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленным внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; если вы будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом, направлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у вас не возникает никакого сомнения в том, что пока корабль стоит неподвижно, все должно происходить именно так. Заставьте теперь двигаться корабль с маленькой скоростью, и тогда (если движение будет равномерным и без качки в ту или другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. Прыгая, вы переместитесь на полу на то же расстояние, что и раньше, и не будете делать больших прыжков в сторону кормы, чем в сторону носа, на том основании, что корабль быстро движется, хотя за то время, как вы будете в воздухе, пол под вами будет двигаться в сторону, противоположную вашему прыжку, и, бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей; рыбы в воде не с большим усилием будут плыть к передней, чем к задней части сосуда; настолько же проворно они бросятся к пище, положенной в какой угодно части сосуда; наконец, бабочки и мухи попрежнему будут летать во всех направлениях, и никогда не случится того, чтобы они

собрались у стенки, обращенной к корме, как если бы устали, следя за быстрым движением корабля, от которого они были совершенно обособлены, держась долгое время в воздухе; и если от капли зажженного ладана образуется немного дыма, то видно будет, как он восходит вверх и держится наподобие облачка, двигаясь безразлично, в одну сторону не более, чем в другую. И причина согласованности всех этих явлений заключается в том, что движение корабля обще всем находившимся на нем предметам, так же как и воздуху; поэтому-то я и сказал, что вы должны находиться под палубой, так как если бы вы были на ней, т.е. на открытом воздухе, не следующем за бегом корабля, то должны были бы видеть более или менее заметные различия в некоторых из названных явлений: дым, несомненно, стал бы отставать вместе с воздухом, мухи и бабочки вследствие сопротивления воздуха равным образом не могли бы следовать за движением, корабля в тех случаях, когда они отделились бы от него на довольно заметное расстояние; если же они будут держаться вблизи, то поскольку сам корабль представляет собой сооружение неправильной формы и захватывает с собой ближайшие к нему части воздуха, они без особого усилия будут следовать за кораблем; подобным же образом мы видим при езде на почтовых, как надоедливые мухи и слепни следуют за лошадьми, подлетая то к одной, то к другой части их тела; в падающих же каплях различие будет незначительным, а в прыжках или брошенных телах — совершенно неощутимым».

Вслучае, описываемом Г. Галилеем, система отсчета (наблюдатель), среда (воздух)

инаблюдаемые предметы получили одно и то же инерциальное движение со скоростью корабля v . Затем Г. Галилей указывает на то, что принцип относительности не соблюдается для наблюдателя, находящегося на палубе корабля. Обусловлено это тем, что система отсчета «наблюдатель-корабль» находится в инерциальном движении со скоростью v , а среда (воздух) не имеет такого движения. Соблюдение принципа относительности Галилея имеет место в примерах 2 и 4 предыдущего параграфа, так как прямолинейное и равномерное движение получили в одинаковой степени вагон и находящиеся в вагоне предметы и воздух.

Впримерах 3 и 4 первого пункта в подвижной системе в виде открытой платформы принцип относительности Галилея не соблюдается, поскольку при движении платформы такое же движение не передается в равной степени предметам и окружающей среде.

Из изложенного следует вывод: основой классической физики является принцип относительности Галилея, утверждающий, что одни и те же опыты, проводимые в неподвижной и движущейся прямолинейно и равномерно системах отсчета, дадут одинаковые результаты. Это означает, что все законы физики сохраняются для любых инерциальных систем отсчета.

Постулаты специальной теории относительности

До середины XIX столетия классическая физика удовлетворяла всем требованиям, предъявляемым со стороны физиков-исследователей. На этой основе сложилась точка зрения, согласно которой все явления природы имеют механическую природу. Это значит, что все они могут быть объяснены с помощью законов механики Ньютона и являются следствием действия тех или иных сил. Затем возникли явления, которые нельзя было свести к классической механике. Основную роль среди этих явлений сыграли световые явления. В результате этого сложилось мировоззрение о несовершенстве классической физики. Заметим справедливости ради, что в настоящее время есть специалисты, считающие такую точку зрения ошибочной. В связи с этим стала разрабатываться физика больших скоростей, названная релятивистской физикой. В первую очередь возник вопрос

о возможности использования правила сложения скоростей (4.4) при световых явлениях. От его решения зависели «границы» применимости закона сложения скоростей и законов классической физики вообще.

Прежде чем дать ответ на вопрос о том, как сохранить классическую физику, вспомним кое-что из давно известного человечеству. Согласно философской концепции великого древнегреческого философа Демокрита (родился ок. 470–460 гг. до н.э.) вещество состоит из микрочастиц, между которыми находится пустота. Известно также, что расстояние между молекулами почти в десять тысяч раз, а между молекулами газа, примерно в сто тысяч раз больше размеров самих молекул. Следовательно, основная по объему часть вещества представляет пустоту. Есть, однако, и противоположная концепция Другого и более авторитетного древнегреческого мыслителя Аристотеля (384–322 гг. до н.э.). Он утверждал, что в мире нет ни малейшего места, где бы не было «ничего». По Аристотелю получается, что между молекулами вещества должна быть какая-то среда. Эта среда и среда, заполняющая безграничные просторы Вселенной, получила название эфира. Понятие эфира было принято научной общественностью всего мира и использовалось до конца XVIII столетия для объяснения различных явлений. Эфир рассматривали вначале как среду, в которой распространяются световые упругие волны. Для этого и понадобился эфир, так как для распространения волны должна быть материальная среда. Затем с развитием электромагнитной теории света эфиру приписали электромагнитную природу, полагая, что он заполняет все пространство.

В своей первой работе по теории относительности «К электродинамике движущихся тел» А. Эйнштейн приходит к мысли о необходимости отказа от эфира и о несовершенстве классической физики. Последнее следует понимать так: все явления в природе нельзя объяснить с механической точки зрения, то есть используя только законы механики.

Специальная теория относительности, описывающая законы релятивистской физики, исходит из двух основных постулатов: принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света. Сформулировал их А. Эйнштейн.

А. Эйнштейн распространил принцип относительности Галилея на все без исключения физические процессы, включая и электромагнитные. Первый постулат формулируется следующим образом: никакими измерениями в произвольной системе отсчета нельзя обнаружить ее прямолинейное и равномерное движение, то есть все процессы, происходящие в системе, не зависят от ее прямолинейного и равномерного движения. Следовательно, все системы, пребывающие в таком движении, эквивалентны, а все физические законы природы неизменны в различных инерциальных системах отсчета.

Принцип постоянства скорости света излагается так: скорость света в вакууме не зависит от движения источника и приемника света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Это следует понимать так. Если вести измерение в двух системах, находящихся в прямолинейном равномерном движении одна относительно другой, то время распространения света от точки А к точке В и от точки В к А одинаково, каково бы ни было движение этих точек относительно друг друга. Справедливость этого утверждения подтверждена опытом А. Майкельсона. С позиций классической механики, однако, такой постулат, конечно, абсурден. И быть может, А. Эйнштейн поторопился с канонизацией постулата о постоянстве скорости света? Так как скорость света в вакууме является величиной инвариантной, то есть одинаковой во всех инерциальных системах

отсчета, то скорость света в вакууме является предельной и равной с = 3 · 10 8 м/с.

Никакой сигнал или воздействие тел друг на друга не могут распространяться со скоростью большей, чем с.

Математической основой специальной теории относительности являются преобразования Лоренца.

Примечание. Постулат — утверждение, принимаемое без доказательства в качестве исходного положения.

Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца имеют простой вид в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной К и движущейся К' инерциальных систем попарно параллельны (рис. 4.5). Система отсчета К' движется относительно К с постоянной скоростью v вдоль оси ОХ . Если, кроме того, за начало отсчета времени в обеих системах выбран тот момент, когда начала координат обеих систем совпадают ( t = 0 и t ' = 0), то преобразования Г.Лоренца имеют вид:

y ' = y , y = y ', z ' = z , z = z ',

где = v / c , с — скорость света в вакууме.

При v << с преобразования Лоренца переходят в классические преобразования Галилея. При v ≥ с преобразования Лоренца теряют смысл, то есть движение тела со скоростью большей скорости света невозможно. Свои преобразования Г. Лоренц получил при попытке сохранить гипотезу неподвижного мирового эфира. Развитие специальной теории относительности привело к выводу о том, что преобразования Лоренца отражают объективные свойства четырехмерности пространства — времени. Согласно принципам теории относительности, любой физический закон должен удовлетворять преобразованиям Лоренца, то есть не изменяться при переходе от одной системы отсчета к любой другой инерциальной системе. Все физические законы инвариантны (неизменны) по отношению к этим преобразованиям.

Релятивистское сокращение длины

Познакомимся с явлением релятивистского сокращения длины, причина которого кроется в четырехмерности пространства — времени. Речь здесь идет не о деформации материала, а о кинематическом пространственно-временном эффекте, возникающем при проецировании четырехмерного пространства — времени на трехмерное пространство. Чтобы разобраться в изложенном, проделаем следующие рассуждения. Сравним длину стержня в инерциальных системах отсчета К и К' (рис. 4.5). Предположим, что стержень 12 покоится в системе К' и расположен в ней, как показано на рис. 4.5. Определение длины стержня состоит в нахождении в системе отсчета К' координат х ' 1 и х ' 2 концов стержня. Разность координат и даст длину стержня l 0 :