Физика_лек_pdf / Модуль 1. Физические основы механики

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Тема 1. Кинематика материальной точки

Определения, модели кинематики

Кинематика описывает движение тел без учета причин, его вызывающих.

Основная задача кинематики — описание движения тела и определение положения тела в любой момент времени.

Введем некоторые физические понятия и модели.

Макроскопическое тело — тело, образованное большим числом атомов.

Материальная точка (МТ) — тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело (АТТ) — система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.

Реальное тело можно считать абсолютно твердым, если в данной задаче его деформации пренебрежимо малы.

Тело отсчета — произвольно выбранное тело, относительно которого мы рассматриваем движение данного тела.

Система координат, связанная с телом отсчета, и отсчитывающие время часы составляют систему отсчета.

Траекторией называется линия, которую описывает в пространстве при своем движении материальная точка.

По форме траектории движение классифицируют на прямолинейное и криволинейное.

Путь — расстояние между начальной и конечной точками движения, отсчитанное вдоль траектории. Эта величина всегда положительна.

Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальную точку с конечной. Перемещение — величина векторная.

Способы описания движения тела

Существует три способа описания движения тела или материальной точки: естественный, координатный, векторный.

1) Естественный способ (траекторный).

Он применим, если известна траектория материальной точки. На данной траектории устанавливается начало отсчета О . Положение точки А определяется дуговой

координатой l — расстоянием вдоль траектории. Дуговая координата является функцией времени: l = f ( t ) .

2) Координатный способ.

Вэтом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают систему координат ( x

,y , z ). При движении материальной точки ее координаты с течением времени меняются.

Движение материальной точки можно описать системой уравнений:

Исключив зависимость от времени, получим уравнение траектории.

3) Векторный способ.

Положение материальной точки А задают радиус-вектором . Некоторую неподвижную точку О выбирают за начало отсчета и проводят из нее вектор в точку, где находится тело в данный момент времени. В процессе движения радиус-вектор

изменяется и по величине и по направлению .

В дальнейшем мы будем пользоваться векторным способом описания движения.

Цит. по: Конспект лекций по дисциплине «Физика» для студентов технических специальностей заочной формы обучения. Ч. 1 / Сост. В.А. Сарафанова / — Тольятти: ТГУ, 2008. — С. 5–6.

Механика. Механическое движение

Механика — это раздел физики, в котором рассматриваются закономерности механического движения тел. При этом возможны взаимодействия между телами.

Механика в зависимости от изучаемого предмета подразделяется на механику материальной точки, механику твердого тела и механику сплошной среды.

Материальная точка есть модель макроскопического тела, размеры которого значительно меньше расстояний от него до других тел. Материальная точка представляет собой своеобразную точечную массу по аналогии с точечным зарядом; точечным источником света. Модель материальной точки исключает необходимость учета размеров и формы тела, что, естественно, упрощает задачу. Так, Землю как компоненту солнечной системы можно считать материальной точкой, поскольку расстояние до Солнца равно примерно 12 тысячам земных диаметров. В системе же «Земля — спутник» материальной точкой будет спутник. При движении Земли вокруг своей оси она не может быть принята за материальную точку, так как характер вращательного движения Земли существенно зависит от ее формы и размеров. Таким образом, одно и то же реальное тело может рассматриваться либо как материальная точка (в первом случае), либо как тело конечных размеров (во втором и третьем случаях). При этом, однако, существенное значение имеет постановка задачи. В задаче, например, о выпущенном с летательного аппарата снаряде последний может рассматриваться отвлеченно от его размеров и формы в виде материальной точки. При изучении же аэродинамических качеств снаряда значение его размеров и геометрической формы необходимо.

В механике твердого тела в качестве модели реального тела используется абсолютно твердое тело, размеры которого не меняются при силовом воздействии. Это понятие применяется в тех случаях, когда деформациями тела можно пренебречь. Конечно же, это

— упрощение истинной картины процесса, в котором всякое тело под действием приложенной силы изменяет свои размеры или форму, или и то, и другое.

Механика сплошной среды рассматривает газ, жидкость, твердое тело как непрерывную сплошную среду. Допускается деформация среды, строение тела не имеет значения.

Механика подразделяется также на классическую, релятивистскую и квантовую.

Основой классической механики являются законы И. Ньютона, поэтому ее называют еще ньютоновской. Классическая механика справедлива для макротел (макроскопических тел), скорость которых несоизмеримо мала по сравнению со скоростью света. Макротело по массе превышает массу отдельного атома (микротела) настолько, что становится зримым.

Релятивистская механика охватывает микро- и макрообъекты, скорость движения которых близка к скорости света. Предметом релятивистской механики является движение, протекающее в ускорителях элементарных частиц ив бесконечных просторах Вселенной.

Квантовая механика используется при исследовании строения и свойств атомного ядра, атома, твердых тел и жидкостей в целом.

По содержанию изучаемого материала классическая механика делится также на кинематику, динамику и статику.

Кинематика описывает механическое движение тел независимо от причин, его вызывающих и изменяющих.

Динамика изучает законы механического движения тел при взаимодействии их между собой и под действием приложенных к ним сил. Основные законы динамики устанавливают связь между физическими величинами и кинематическими

характеристиками движения. Следствием основных законов динамики являются фундаментальные законы сохранения.

Статика исследует условия равновесия тел, находящихся под воздействием других тел и силовых полей. Законы статики есть частные случаи законов динамики.

В классической механике движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно другого тела. Естественно, что изменение положения происходит и во времени. Пространство и время, как известно, есть формы существования материи. И. Ньютон считал пространство и время абсолютными, то есть не зависящими друг от друга и от наличия или отсутствия в пространстве физических тел. Теория относительности коренным образом изменила представления о пространстве и времени. Пространство и время, согласно этой теории, неразрывно связаны друг с другом и образуют единое четырехмерное пространство — время.

Механическое движение является простейшим движением материи в сравнении со скрытыми формами движения микрочастиц вещества. К скрытым формам движения относят молекулярно-тепловое, внутримолекулярное, внутриатомное и внутриядерное движение материи.

В дальнейшем будут рассмотрены следующие виды механического движения тел: поступательное, вращательное и колебательное. Поскольку движение материальной точки можно рассматривать только относительно другой материальной точки, то при изучении перемещения материальной точки необходимо, прежде всего, иметь систему отсчета, то есть систему координат, связанную с телом, относительно которого рассматривается движение материальной точки или тела. В качестве системы координат наиболее часто используется декартова система.

Характеристиками движения являются траектория, скорость и ускорение. Линия, которую описывает движущаяся материальная точка, называется траекторией. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории, поэтому ограничиваются рассмотрением движения одной точки. По форме траектории различают прямолинейное движение, криволинейное, движение по окружности и т.д. Если при движении абсолютно твердого тела прямая, проходящая через какую-либо точку, остается неподвижной, то такое движение называют вращением тела относительно этой прямой — оси вращения.

Расстояние, пройденное материальной точкой за время t , называют путем s . Помимо этого понятия в механике широко используется также понятие перемещения материальной точки. Перемещение — это направленный отрезок, соединяющий начальную и конечную точки на траектории. Летающий лыжник движется по траектории, а длина полета оценивается перемещением от конца трамплина до точки приземления лыжника на снежный грунт. Кстати, мировой рекорд летающих лыжников — 209 м (2003 г.). При прямолинейном движении в одну сторону путь и перемещение численно равны. При криволинейном движении путь численно больше перемещения, а при движении материальной точки по замкнутой траектории перемещение равно нулю. Так, итоговое перемещение Лунохода-1 массой 756 кг на Луне оказалось равным нулю, поскольку он вернулся в исходную точку лунной поверхности. Луноход-1 проработал в Море Дождей более десяти месяцев, преодолел путь в 10540 м, передал на Землю 20 тысяч фотоснимков, исследовал физико-химические свойства лунного грунта в 500 точках. Путь является скалярной физической величиной, а перемещение — вектором. Векторными

Перемещение материальной точки сопровождается приращением радиуса-вектора на величину . При Δt → 0, Δr → 0 длина дуги Δs приближается по значению

к длине хорды 12, равной . Предельным положением хорды является касательная к траектории в точке 1.

Таким образом, вектором мгновенной скорости материальной точки в данном случае

разность при t = ( t 2 – t 1 ) → 0. Следовательно, скоростью называют вектор, направленный в каждой точке траектории по касательной к ней и равный по величине производной радиуса-вектора по времени. В соответствии с изложенным формулы (1.1)...(1.3) представляют собой не саму скорость, а ее модуль.

По аналогии с изложенным формулу (1.3) для мгновенной скорости можно записать в виде v = ds / dt . Докажем справедливость такого допущения следующими

Рассмотрим примеры скоростей движения современных транспортных средств. В транспортной технике используется понятие конструкционной скорости. Это максимальная скорость, допускаемая конструкцией данного транспортного средства.

Конструкционная скорость автомобиля «Жигули» — 150 км/ч, вертолета Ми-6 —

300км/ч, самолета АН-225 «Мечта» — 800 км/ч и Ту-144 — 2500 км/ч.

Восвоении космоса свои особые понятия скорости. Это первая, вторая и третья космические скорости. Первая равна 7,9 км/с. Материальный объект, запущенный с Земли с первой космической скоростью, начинает вращаться вокруг Земли и становится ее искусственным спутником. Вторая космическая скорость соответствует 11,2 км/с. Она также минимальна, то есть этой скорости достаточно для того, чтобы космический аппарат, покинув Землю, стал искусственным спутником Солнца. Третьей космической скоростью считается минимальная скорость 16,7 км/с. Обладая такой скоростью, космическое тело способно выйти навсегда за пределы солнечной планетной системы. Первая и вторая космические скорости достигнуты в процессе исследования космоса. Первую космическую скорость имеют межконтинентальные баллистические ракеты.

И еще о скорости. Рекорд скорости поездов на магнитной подушке — 581 км/ч. Используя технологию «звездных войн», удалось достичь 800 км/ч. Полагают, что эта скорость окажется предельной и большую скорость получить невозможно из-за высокой плотности воздуха вблизи поверхности Земли. Что же касается человека, то за 50 лет он стал пробегать 1500 м на 22 с быстрее, то есть за 3 мин. 28 с. Восхищает высокая скорость полета некоторых птиц, например, черного стрижа 120–180 км/ч, или сокола сапсана, который при ловле добычи развивает в пике скорость 270–300 км/ч. И последнее. Наибольшая скорость полета снарядов — 2 км/с. Для оборонительного оружия, как считают специалисты, этого недостаточно. Нужны более высокие скорости и новые принципы метания с использованием более мощных источников энергии. И здесь же уместно заметить, что изготовлена суперпуля. Для нее предельным расстоянием считался 1 км. Пуля снабжена лазером. Она может изменить характер военных действий. Цена крупнокалиберной пули (20 мм) для военно-воздушных сил составляет 140 долларов.

Ускорение материальной точки

Если скорость материальной точки при ее движении по произвольной траектории изменяется по модулю или направлению, то это значит, что точка движется с ускорением.

Если скорость материальной точки при движении ее по траектории в моменты времени t 1 и t 2 соответственно в состояниях 1 и 2 (рис. 1.3) равна v 1 и v 2 , то вектор среднего ускорения материальной точки определяется отношением изменения вектора скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло,

Рис. 1.3

В соответствии с правилом деления вектора на скаляр среднее ускорение направлено так же, как и приращение скорости. Среднее ускорение может быть различным на разных участках траектории и зависит от промежутка времени, по которому проводится усреднение. В пределе при t → 0 среднее ускорение на пути 12 превратится в мгновенное ускорение в состоянии 1.

Ускорение материальной точки при ее движении по криволинейной траектории обусловлено изменением во времени модуля ее скорости и изменением направления движения. Изменение направления движения зависит от кривизны траектории. Таким образом, криволинейное движение происходит всегда с ускорением. В связи с этим вектор ускорения принято раскладывать на две составляющие (рис. 1.4). Первая из них направлена по касательной к траектории и называется тангенциальным или, реже,

касательным ускорением , вторая — по нормали к траектории и называется

нормальным или центростремительным . Ускорение и его составляющие находятся в соотношении

Рис. 1.4

Прямолинейное движение материальной точки

Если ускорение материальной точки во все моменты времени равно нулю, то скорость ее движения постоянна по величине и по направлению. Траектория в этом случае представляет собой прямую линию. Движение материальной точки в сформулированных условиях называют равномерным прямолинейным. При прямолинейном движении центростремительная составляющая ускорения отсутствует, а поскольку движение равномерное, то и касательная составляющая ускорения равна нулю.

Если ускорение остается постоянным во времени , то движение называют равнопеременным или неравномерным. Равнопеременное движение может быть равноускоренным, если а > 0, и равнозамедленным, если а < 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = <а> = v / t = ( v – v 0 ) / t , откуда

v = v 0 + а t , м/с, (1.7)

В состоянии 2 путем графического вычитания векторов линейной скорости найдем

сторонами. Поскольку линейная скорость по модулю постоянна ( v 1 = v 2 ), то можно оперировать скоростью v без индексов. Из изложенного следует вывод о подобии равнобедренных треугольников 102 и 2АВ с одинаковым углом Δθ при вершине. И поэтому v / v = |12| / R , где |12| — длина хорды 12, и v = v |12| / R . На основании формулы (1.6)

Поскольку v и R постоянны и а = a н , то

При t → 0 длина хорды 12 приближается к длине дуги s и

Следовательно,

a н = v 2 / R , м/с2 . (1.9)

(нормальным), так как при t → 0 Δθ тоже стремится к нулю (Δθ → 0) и векторы и

будут направлены вдоль радиуса окружности к ее центру.

Наряду с линейной скоростью равномерное движение материальной точки по окружности характеризуется угловой скоростью. Угловая скорость представляет собой

отношение угла поворота Δθ радиуса-вектора к интервалу времени, за который этот поворот произошел,

ω = Δθ/Δ t , рад/с. (1.10)

Для неравномерного движения используется понятие мгновенной угловой скорости

Интервал времени Т, в течение которого материальная точка совершает один полный

оборот по окружности, называют периодом вращения, а величину, обратную периоду, — частотой вращения: ν = 1/Т , с– 1 .