Физика_лек_pdf / Модуль 10. Квантовая физика

— это следует из общей формулировки рассматриваемой задачи. Интеграл следующей

(22.25), получаем окончательную форму пси-функции для квантовой частицы

Графики пси-функции Ψ(х ) и плотности вероятности |Ψ(х )|2 = dW / dx нахождения микрочастицы на отрезке (0, l ) в окрестности точки с координатой х, соответствующие уровням энергии E 1 , E 2 , Е 3 при п = 1, 2, 3, приведены на рис. 22.4. Из Рисунка следует, что микрочастица, находящаяся в низшем энергетическом квантовом состоянии при п = 1, с наибольшей вероятностью может находиться в центре «потенциальной ямы». Плотность вероятности ее у краев «ямы» равна нулю. В квантовом состоянии с п = 2 микрочастица не может сколько-нибудь часто наблюдаться в середине «ямы», но зато с наибольшей вероятностью может находиться либо в середине левой половины, либо в середине правой половины «ямы». Подобное поведение микрочастицы не соответствует классическим представлениям о траектории движения, поэтому понятие траектории микрочастицы в квантовой механике отсутствует.

Рис. 22.4

Классическая частица может обладать в «яме» любой энергией. При этом ее минимальная энергия равна нулю — Е min = 0 и соответствует случаю, когда покоящаяся частица находится на дне «потенциальной ямы». Энергетический спектр квантовой частицы дискретен, а минимальная энергия, соответствующая значению п = 1, равна: E min = π 2 ħ 2 / (2ml 2 ). Классическая частица с равной вероятностью, равной dx / l , может быть найдена в окрестностях dx любой точки «ямы».

Практически непрерывная последовательность энергетических уровней, когда сглаживается дискретность как характерная особенность квантовых процессов, следует также (помимо рассмотренного выше примера) из сопоставления (22.23) и (22.24) при квантовых числах п >> 1: Е / Е n 2/п << 1. Этот результат есть частный случай принципа соответствия Н. Бора. Согласно этому принципу при больших значениях

квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики. Общее же понимание принципа соответствия состоит в следующем. Всякая новая теория является более общей и есть результат развития классической физики. При этом она не отвергает, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую. Так, при v << с формулы кинематики и динамики специальной теории относительности трансформируются в формулы классической механики И. Ньютона. То же можно сказать и о гипотезе де Бройля, которая допускает возможность волновых свойств у всех тел. Однако для макротел основным свойством становится дискретность, и для описания их поведения следует применять также механику И. Ньютона.

Квантовые статистики

Свойства коллектива частиц характеризуются распределением микрочастиц по координатам, скоростям и энергиям. Распределение молекул газа по скоростям и кинетическим энергиям описывается распределением или статистикой Дж. Максвелла. Распределение же молекул в потенциальном поле — распределением или статистикой Л. Больцмана. Статистика Максвелла-Больцмана подчиняется классическим законам и поэтому называется еще классической статистикой. Классическая статистика базируется на следующих положениях. Во-первых, частицы следуют принципу «различимости», согласно которому каждая частица как бы пронумерована и поэтому обречена на жизнь в условиях постоянного наблюдения. Простая перестановка микрочастиц из разных энергетических групп, согласно этому принципу, должна рассматриваться как новое микросостояние энергетической группы, соответствующее данному микросостоянию. Вовторых, число возможных микросостояний G классической микрочастицы допускается, что вполне понятно, бесконечно большим. Число же частиц в коллективе хотя и очень большое, но конечно. Отношение полного числа частиц N в системе к числу возможных микросостояний G (скоростей, энергий, импульсов) всегда значительно меньше единицы: N /G << 1. Коллектив микрочастиц с указанным соотношением N и G называют невырожденным. Такие системы являются предметом классической статистики Максвелла—Больцмана. Классическая статистика позволяет найти средние значения скорости и энергии в системе частиц. От средних величин можно прийти к макроскопическим характеристикам газа: давлению, температуре.

Квантовая статистика представляет собой раздел статистической физики. С ее помощью исследуются системы огромно-(Го числа частиц. При этом используются законы квантовой Механики. Квантовая статистика исходит из принципа неразличимости тождественных микрочастиц. Особенности распределения микрочастиц, обладающих квантовыми свойствами, следующие. Во-первых, микрочастицы одного типа, например электроны, неразличимы. Это обусловлено описанием их свойств вероятностными законами. Два микросостояния отличаются всего лишь перестановкой микрочастиц и поэтому считаются тождественными. Во-вторых, физические параметры микрочастицы могут иметь только дискретные (квантованные) значения. А число ее возможных состояний не может быть бесконечным, как в классическом варианте описания, и допускается, что оно может быть сравнимо с числом микрочастиц, то есть N / G 1. Такой коллектив микрочастиц называют вырожденным, и его распределение описывается квантовой статистикой. Применительно к газу используется термин «вырожденный газ».

Рассмотрим систему, которая состоит из N микрочастиц, состояние каждой из них определяется координатами х, у, z и тремя проекциями импульсов на координаты рх , р y , р z . Состояние макросистемы определяется в этом случае заданием 6N переменных. При сформулированных условиях имеет место 6Лг -мерное пространство, называемое

фазовым. Каждому микросостоянию системы соответствует точка в 6N -мерном фазовом пространстве. Поскольку состояния микрочастиц дискретны, то каждому из них тождественен некоторый малый объем фазового пространства — фазовый объем: dV ф = dxdydzdpx dpy dpz , м3 . Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества и принцип Гейзенберга приводят к выводу о том, что фазовый объем не мол-сет быть меньше постоянной Планка в третьей степени:

dV ф = dxdydzdpx dpy dpz ≥ ħ 3 .

Результаты теоретических исследований дают основание утверждать, что энергия почти невзаимодействующих между собой микрочастиц, например валентных электронов, не зависит от координат и определяется только импульсом р :

В квантовой статистике принято число частиц dN , обладающих энергией в интервале от Е до Е + dE , представлять в виде

dN = g (E )F (E )dE ,

где g (E ) — плотность состояний по энергии, представляющая собой число возможных состояний в интервале бесконечно малых значений энергий dE вблизи энергии Е: g (E ) = dN / dE ; F (E ) — вероятность заполнения микрочастицами этих энергетических состояний или, что то же самое, вероятность нахождения частицы в данном состоянии. Функция F (E ) является дискретной функцией распределения, поскольку, как это уже известно, энергия в квантовой механике квантуется. Конкретное выражение функции распределения в общем виде получено американским физиком Д. Гиббсом и имеет следующий вид:

где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице: п — совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Функцию распределения энергии называют каноническим распределением Гиббса. И еще раз оговоримся, что она представляет собой вероятность конкретного состояния, а не вероятность того, что система имеет определенное значение энергии Е n , так как данной энергии может соответствовать несколько различных состояний.

Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Объектом изучения классической и квантовой статистик является система невзаимодействующих частиц, называемая в статистической физике идеальным газом. В квантовой физике подобную систему представляют в виде так называемых чисел заполнения Ni , характеризующих квантовое состояние набором i квантовых чисел. Сумма всех чисел заполнения должна быть равной числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число средних чисел заполнения < Ni > в конкретном квантовом состоянии.

Элементарные частицы и составленные из них микрокомплексы вплоть до кристалла классифицируются на бозоны и фермионы. Их основным отличительным признаком

является характер симметрии волновых функций Ψ(х 1 , х 2 ). Частицы с нулевым или целым спином (π-мезоны, фотоны и др.) описываются симметричными (четными) волновыми функциями Ψ(х 1 , х 2 ) = Ψ(х 2 , х 1 ) и называются бозонами. Числа заполнения Для них могут принимать любые целые значения 0, 1, 2, ... Такой идеальный газ принято называть бозе-газом. Распределение бозонов по энергиям описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна (Д. Бозе — индийский физик):

где < Ni (Ei )> — среднее число бозонов, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е i ; μ — химический потенциал, определяемый температурой и плотностью числа квантовых частиц; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.

Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны и др.) описываются антисимметричными (нечетными) волновыми функциями Ψ(х 1 , х 2 ) = – Ψ(х 2 , х 1 ) и называются фермионами. Идеальный газ из фермионов называют ферми-газом. Сложные микрочастицы (атомные ядра и др.), состоящие из нечетного числа фермионов, — также фермионы. Их суммарный спин полуцелый. Если же комплекс состоит из четного числа фермионов, то он является бозоном. Суммарный спин у него целочисленный.

Распределение фермионов по энергиям описывается квантовой статистикой ФермиДирака (Э. Ферми — итальянский физик):

Здесь < Ni (Ei )> — среднее число фермионов, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е i .

классическое распределение Максвелла-Больцмана: , где A = e μ/ k Т .

Распределение электронов по энергетическим состояниям в металлах. Энергия Ферми

По зонной теории электроны в валентной зоне проводника заполняют энергетические уровни, на каждом из которых, согласно принципу В. Паули, могут находиться только два электрона (рис. 22.5). При этом энергия отсчитывается от минимального уровня, соответствующего «дну» валентной зоны. Максимальную энергию валентных электронов в металле при Т = 0 К называют энергией Ферми — Е F . Иными словами, энергия Ферми есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия поступательного движения, которую могут иметь валентные электроны в металле при T = 0 К. Она равна химическому потенциалу μ0 коллектива валентных электронов при абсолютном нуле температуры. Энергия Ферми пропорциональна концентрации валентных электронов п = N / V , м–3 , и определяется по формуле

В нижеследующей таблице 22.1 приведены экспериментальные значения энергии Ферми EF и скорости vF . электронов, соответствующие этой энергии для ряда металлов.

Таблица 22.1

Энергия Ферми и соответствующая скорость электронов

Примечание: 1 эВ = 1,6·10–19 Дж

Средняя энергия поступательного движения валентных электронов равна:

, Дж. Еще раз следует обратить внимание на то, что Е F , Е и vF не связаны с тепловым движением валентных электронов. И, кроме того, эти характеристики имеют квантовую природу. Это значит, что они отражают свойства квантовых частиц, которые подчиняются принципу В. Паули. А следовательно, представляют собой вырожденный коллектив, описываемый статистикой Ферми-Дирака. Средняя энергия теплового

движения невырожденного газа равна — и при Т = 0 К обращается в ноль.

Энергии Ферми соответствует наивысший энергетический Уровень, занятый электронами, который называют уровнем Ферми. Работу выхода электрона из металла следует отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делается в классической физике, а от уровня Ферми.

Энергетические уровни, расположенные выше энергии Ферми, при Т = 0 К будут свободны (рис. 22.5). Соответственно, среднее число < N (E )> электронов в квантовом состоянии с энергией Е называют функцией распределения Ферми-Дирака — F (E ). Функция Ферми-Дирака определяет вероятность заполнения электронами энергетических уровней, то есть распределение электронов по энергиям или состояниям. При Т = 0 °К функция Ферми-Дирака равна единице для всех уровней с энергией Е < Е F . Для уровней с Е > Е F она равна нулю. График функции Ферми-Дирака F (E ) = < N (E )> при T = 0 °К изображен на рис. 22.6. Он же представлен на рис. 22.7 повернутым на 90° для удобства сравнения со схемой заполнения валентной зоны электронами (рис. 22.6).

При Т > 0 К взаимодействующие с колеблющимися узлами кристаллической решетки электроны приобретают энергию, отличную от энергии Ферми. Электроны, перешедшие в зону проводимости (рис. 22.8), имеют энергию Е > Е F (участок cd на рис. 22.8–22.10). Те энергетические уровни, с которых изображенные электроны перешли на более высокие энергетические уровни в зоне проводимости, становятся наполовину свободными, как это изображено на участке bc рис. 22.8. Электроны, оставшиеся в валентной зоне (рис. 22.8), по-прежнему обладают энергией Е < EF (участок ас на рис. 22.8–22.10). Электроны на участке ab сохраняют свое энергетическое состояние. Таким образом, вероятность заполнения электронами энергетических уровней с энергией, отличной от энергии Ферми, становится равной нулю. Вероятность же заполнения электронами энергетических уровней на участке ab диаграммы (рис, 22.8) при Т > 0 °К будет равна единице, как и при Т = 0 °К (рис. 22.9 и 22.10). График функции распределения Ферми-Дирака при Т > 0 °К также представлен на рис. 22.10 повернутым на 90° для наглядного сравнения со схемой заполнения электронами валентной зоны и зоны проводимости (рис. 22.8).

Аналитический вид функции Ферми-Дирака, определяющей среднее число < N (E )> электронов в квантовом состоянии с энергией Е при произвольной температуре Т, получил в 1926 г. Э. Ферми:

Рассмотрим некоторые свойства функции распределения. Формула (22.28) описывает вероятность распределения электронов по энергетическим уровням в металле в зависимости от его температуры и соотношения энергий Е и Е F :

2. При Е = EF независимо от значения температуры функция Ферми F (E ) = 0,5. Это значит, что при Т > 0 энергию Ферми можно охарактеризовать как уровень энергии, вероятность заполнения которого электронами равна 0,5. Оказывается, что значение энергии Ферми при Т > 0 несколько отличается от максимального значения энергии Ферми EF (0) электронов в металле при Т = 0. Это расхождение определяется следующим соотношением:

Величина расхождения невелика. Так, при Т = 3000 °К Е F отличается от Е F (0) менее чем на один процент. Поэтому принято считать энергию Ферми не зависящей от температуры. И все Же именно эта малая разность значений энергии Ферми играет существенную роль в термоэлектрических явлениях. И теперь понятно, что строгость определения не только теоретических построений требует отнесения понятия энергии Ферми к фиксированной температуре, за которую принята Т = 0 °К.

3. При обычных температурах, например при 300 К, величина k Т = 0,86·10–4 · 300 = 0,026 эВ. Это значительно меньше EF для любого из металлов, приведенной в таблице настоящего параграфа, то есть k Т << Е F . Последнее неравенство соответствует состоянию сильного вырождения электронного газа в металлах. Под электронным газом, как известно, понимают сообщество свободных электронов. Вспомним также, что систему частиц называют вырожденной в том случае, если ее свойства не могут быть описаны классической статистикой. А вырождением газов называется отклонение их свойств от свойств идеального газа, вызванное квантовыми свойствами самих частиц и их коллективов. Бозе-газ и ферми-газ отличаются от классического идеального газа и поэтому считаются вырожденными. Вырождение газа становится существенным при

низких температурах и больших плотностях. За параметр вырождения принята величина А

= е μ/ k Т .

При малой степени вырождения (А << 1) (Е – Ер ) >> k Т единицей в знаменателе функции Ферми-Дирака (22.28) можно пренебречь по сравнению со значением экспоненты, и тогда распределение Ферми-Дирака, как и распределение Бозе-Эйнштейна, переходит в классическое распределение Максвелла-Больцмана.

Итогом изложенных рассуждений следует считать следующее. При значениях энергии (Е – Е F ) >> k Т к электронам проводимости в металле применима классическая статистика. При (Е – Е F ) << k Т к валентным электронам применима только квантовая статистика Ферми-Дирака.

Фононы

Модель тепловых колебаний кристаллической решетки в квантовой теории выглядит в виде совокупности независимо колеблющихся с одинаковой частотой узлов решетки как гармонических осцилляторов. При этом спектр частот гармонических осцилляторов непрерывен. П. Дебай доказал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят низкие частоты. А низкие частоты, как известно, соответствуют упругим волнам. Упругие же волны являются звуковыми. Поэтому тепловые колебания кристаллической решетки отождествляются с упругими волнами, распространяющимися в кристалле. Тепловое колебание решетки кристалла принято называть фононом. Фонон обладает энергией Е = hv и, следовательно, есть не что иное, как квант звуковой волны. Именно квантование упругих волн привело к представлению о фононах. Вспомним, что квантование электромагнитного излучения привело к понятию фотона. Однако фонон является квазичастицей и отличается от обычных квантовых частиц: фотона, электрона, протона и др. тем, что связан с коллективным движением узлов решетки кристалла. Узлы кристаллической решетки представляют собой систему связанных определенным порядком частиц.

Так как звуковые волны охватывают известный интервал длин волн, то приходится обычно иметь дело не с отдельным фононом, а с его пакетом. Число фононов не остается постоянным. Энергия колебаний кристаллической решетки равна энергии фононного газа. Спин фононов равен нулю, и поэтому фононы считаются бозонами. Их энергия подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, но в формуле (22.27) химический потенциал μ следует принять равным нулю (μ = 0). Последнее следует из того, что число фононов переменно. С помощью модели квазичастиц-фононов эффективно объясняются явления сверхпроводимости и сверхтекучести жидкого гелия.

Основы квантовой теории электропроводности металлов

Удельная электропроводность металлов в квантовой теории определяется по классической формуле γ = ne 2 < λF > /(m < uF > ), имеющей иное физическое содержание. Имеется в виду то, что в ней используются соответствующие энергии Ферми, средняя Длина свободного пробега < λF > и средняя скорость теплового Движения электрона проводимости. При этом движение электронов проводимости происходит при непосредственном взаимодействии их с кристаллической решеткой, за счет чего величина < λF > оказывается тем меньше, чем больше температура.

Квантовая теория электрической проводимости металлов обеспечивает полное совпадение теоретических результатов с опытными. Согласно теории, удельная электропроводность обратно пропорциональна температуре γ~1/Т . Объясняется это тем, что в квантовой механике средняя тепловая скорость <uF > электрона проводимости практически не зависит от температуры. В предыдущем параграфе дано логическое доказательство того, что уровень Ферми не зависит от температуры. Но при этом рассеяние электронов проводимости на фононах с повышением температуры возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. При комнатных температурах < λF > ~1/Т и так как < uF > не зависит от температуры, то следует, что удельное сопротивление металлов (ρ = l /γ ) растет пропорционально температуре ρ ~ Т. Электронная же теория проводимости металлов дает совсем другую связь между удельным электрическим сопротивлением и температурой: ρ ~ Т 0,5 .

Качественно явление сверхпроводимости с позиции квантовой теории объясняют так. Электроны проводимости в проводнике подвержены действию сил кулоновского отталкивания. Однако кулоновское отталкивание может быть ослаблено и даже исключено электрон-фононным взаимодействием. Положительные ионы решетки при определенных условиях, выполняя функцию посреднических элементов, могут привести к возникновению слабого взаимного притяжения между электронами. Электроны проводимости, притягиваясь друг к другу, образуют так называемую куперовскую пару. Энергия связи таких пар достигает 3,5 Т k , то есть порядка ~10–3 эВ. Поэтому они могут существовать только при очень низких температурах. Электроны, составляющие куперовскую пару, имеют противоположные спины. И поэтому результирующий спин пары равен нулю, а пара по свойствам представляет собой бозе-частицу.

Куперовские пары концентрируются на низших энергетических уровнях. При сверхнизких температурах они находятся в одинаковом и достаточно устойчивом состоянии. Последнее обусловлено тем, что к бозе-частицам неприменим принцип запрета В. Паули, поэтому число куперовских пар, находящихся в одном состоянии, не ограничено. Ансамбль куперовских пар может под действием внешнего электрического поля двигаться, не взаимодействуя с решеткой. Это значит, что пары при своем движении остаются невосприимчивыми к рассеянию и сохраняют движение даже после

прекращения действия внешних сил, вызвавших это движение. Это и есть сверхпроводимость.

Примечание. Развитием квантовой теории, возраст которой приближается к столетнему юбилею, является чрезвычайно любопытная физическая теория «суперструн». Следует признать ее возрастающий авторитет. Выводы теории следуют из признания 11мерной модели Вселенной. До этого все представления о Мире строились исходя из четырех координат пространства-времени. Теория «суперструн» «предполагает», что в основании Мира частиц нет, а есть различные резонансы вибрирующих «суперструн», называемые также виртуальными частицами. Таким образом, отпадает необходимость использования понятий субатомных частиц: электрона, фотона и др. Вместо них теория использует виртуальные электроны, виртуальные фотоны, представляющие собой резонансы соответствующих колебательных систем, находящихся во взаимодействии друг с другом. Теория «суперструн» позволяет объяснить ряд проблем, как то: квантовые эффекты в черных дырах и др. С позиций этой теории оказывается, что многие звездные образования черпают энергию из ничего — из вакуума, то есть от виртуальных частиц, основной из которых является виртуальный фотон. Вспомним, что основная масса Вселенной невидима и сосредоточена (до 99 %) в элементарных частицах (по устаревшим представлениям). И тогда легко поверить последнему утверждению.

Цит. по: Физика: учебник / Демидченко В.И. — Ростов н/Д: Феникс, 2006. — С. 424–453.

Тема 3. Строение атома

Современные представления о строении атома

Еще в античные времена возникла идея о том, что Вселенная состоит из маленьких неделимых частиц — атомов. Это представление о строении вещества сохранилось до конца XIX столетия, когда к началу XX века достоверно было установлено, что в состав каждого атома входят электроны. Приоритет в открытии электрона принадлежит английскому физику Дж. Томсону. Вместе с тем тогда же было известно, что атом электрически нейтрален. Следовательно, отрицательный заряд электронов должен компенсироваться положительным зарядом неизвестных частиц, входящих в заряд атома.

В 90-х годах XIX века получила широкое распространение модель атома Дж. Томсона в виде однородной, положительной сферической среды, в которой, как изюминки в булке, рассредоточены отрицательно заряженные электроны. Атомная модель Дж. Томсона подобна кексу. Однако вскоре автор «кексовой» модели высказал предположение о нестатическом положении электронов в атоме.

Наиболее реальной представлялась ядерная или планетарная модель атома Э. Резерфорда, предложенная английским физиком в 1911 г. Планетарная модель явилась результатом выполненных Э. Резерфордом и его сотрудниками экспериментов по рассеянию α-частиц. Опыты состояли в следующем. Пучок положительно заряженных α- частиц направляется на тонкий, в виде фольги, золотой лист. За фольгой находился экран, покрытый сцинтиллятором — веществом, которое испускает свет в той точке, в которую ударялась α-частица. Исходя из модели Дж. Томсона, следовало ожидать, что α-частицы не будут отклоняться на большие углы, так как электроны гораздо легче α-частиц. И, действительно, опыты показали, что большинство α-частиц свободно проходили сквозь лист фольги, как если бы он представлял собой в основном пустое пространство. И все же часть α-частиц отклонялась на небольшие углы, что являлось, как можно было предположить, следствием взаимодействия с положительным зарядом атома. Но