Cвойства функции распределения

1) 0F(x)1, поскольку является верoятностью.

2) F(x) - неубывающая функция, т.е. при .

3) Функция распределения непрерывной СВ непрерывна: .

4)P(X<)=F()-F().

5) Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет одно определенное значение, равна нулю: , но

6) .

Схематично функция распределения непрерывной СВ может быть представлена графиком, изображенным на рис.4.3.2.

Для дискретной СВ X, которая принимает значения x₁, x₂, …, x_n , функция распределения вычисляется согласно правила:

F(x)=P(X<x)=, (4.3)

где символx_i<x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все значения СВ, которые по своей величине меньше аргумента х. Из выражения для F(x) следует, что функция распределения дискретной СВ Х разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значений x₁, x₂,...,x_n, причем величина скачка равна вероятности соответствую-щего значения (рис. 4.4.).

Пример 4.2. Производится три независимых исследования оборачиваемости средств предприятия. Вероятность ошибки при каждом исследовании равна 0,4. Построить функцию распределения СВ Х - числа ошибок.

 Возможными значениями СВ Х будут: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3.

Вероятности этих значений можно вычислить по формуле Бернулли:

,

где n=3; ; р = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6.

Получим: Р(Х=0)=0,216, Р(Х=1)=0,432, Р(Х=2)=0,288, P(X=3)=0,064. Контроль: .

Ряд распределения представится таблицей:

Х	0	1	2	3
P(X=xi)	0,216	0,432	0,288	0,064

Функция распределения имеет вид:

F(x) = , её график представлен на рис. 4.5.

Пример 4.3. Функция распределения непрерывной СВ Х имеет вид: F(x) =. Найти коэффициентa и построить график F(х). Определить вероятность того, что СВ в результате опыта примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

Так как функция распределения непрерывной СВ X должна быть непрерывной в любой точке, то:

= 1  a(3-1)² = 1  a=1/4.

График функции F(х) изображен на рис.4.6. На основании свойства (4) функции распределения вычислим: P(1<X<2) = F(2) ‑ F(1) = 1/4. 

4.4. Плотность распределения вероятностей

F(x) исчерпывающе характеризует СВ Х, однако удобнее охарактеризовать непрерывную СВ Х при помощи другой функции , которую называютдифференциальной функцией распределения. Она уже не является вероятностью, т.к. в силу определения производной Отношение есть средняя плотность вероятности, а предел средней плотности при естьплотность распределения вероятностей СВ Х. Таким образом, по определению

(4.4),

откуда следует, что

Свойства плотности вероятности

1); 2); 3);

4); 5).

Пример 4.4. Дана плотность распределения вероятностей СВ Х:

. Найти функцию распределения Х.

 В соответствии со свойством (3):

при x  0 : ;

при 0< x  2: F(x)= +=sinx;

при x> 2: F(x)= + += =1.

Итак: F(x)=. 

4.5. Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно указать только некоторые характерные особенности распределения СВ. Это делается при помощи числовых характеристик: моды, медианы, асимметрии, эксцесса, математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения.

Модой М₀ СВ Х называют наиболее вероятное ее значение.

Для дискретной СВ Х модой М₀ является такое ее значение, вероятность которого наибольшая.

Для непрерывной СВ Х модой М₀ является такое ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой М_e СВ Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной этой величины:

Р(Х < М_e ) =Р(Х > М_e ). (4.14)

Для непрерывной СВ медианы М_e определяется из условия:

, . (4.15)