Глава 4. Случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики

4.1. Понятие случайной величины

Случайная величина (СВ) - это переменная величина, принимающая свои значения в зависимости от случая, с некоторой вероятностью. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Дискретной называется СВ, принимающая отдельные, изолированные значения, которые можно перенумеровать (их число может быть конечным или бесконечным).

Непрерывной называется СВ, значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный).

Например, число пассажиров, перевозимых городским транспортом, число бракованных изделий среди изготовленных, число зёрен в колосе пшеницы, число студентов не посещающих занятия являются дискретными СВ, а случайные ошибки взвешивания, время безотказной работы кассового аппарата ‑ непрерывными СВ.

Полностью охарактеризовать СВ можно законом ее распределения.

Закон распределения СВ Х - это есть соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

4.2. Дискретные случайные величины.

Простейшей формой выражения закона распределения дискретной СВ Х является таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

xi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2	...	рn

Такую таблицу ещё называют рядом распределения СВ.

Все возможные значения СВ Х образуют полную группу несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей, помещённых в таблице равна 1, т.е.

. (4.1)

Графически ряд распределения представляется ломаной линией, которая называется многоугольником распределения. На оси абсцисс откладываются все возможные значения х СВ X, а на оси ординат -

cоответствующие вероятности p_i. Полученные точки ( х, p_i) соединяются отрезками прямых (рис. 4.1).

Пример 4.1. Для изучения уровня зарплаты рабочих обследовано 5 частных предприятий. Вероятность того, что на каждом из них зарплата выше среднего уровня обеспеченности, рав-на 0,6. Построить ряд расп-ределения и многоугольник распределения СВ Х - числа предприятий, на которых зарплата выше среднего уровня обеспеченности.

Возможными значениями СВ Х являются: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=4, x₆=5.

Вероятности этих значений можно вычислить по формуле Бернулли при и :

P(X=0)=P₅(0)=(0,6)⁰(0,4)⁵0,0102, P(X=1)=P₅(1)=(0,6)¹(0,4)⁴=0,0768, P(X=2)=P₅(2)=(0,6)²(0,4)³ =0,2304, P(X=3)=P₅(3)=(0,6)³(0,4)²=0,3456, P(X=4)=P₅(4)=(0,6)⁴(0,4)¹=0,2592, P(X=5)=P₅(5)=(0,6)⁵(0,4)⁰0,0778.

Условие выполнено: 0,0102+0,0768+0,2304+0,3456+0,2502+0,0778=1,

все вероятности вычислены верно. Ряд распределения СВ Х имеет вид:

. xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,0102	0,0768	0,2304	0,3456	0,2592	0,0778

Многоугольник распределения изображен на рис.4.2. 

4.3.Функция распределения.

Пусть Х - случайная величина и х - произвольное действительное число. Вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей СВ Х:

F(x)=P(X<x) (4.2).

Если рассматривать СВ Х как случайную точку на оси ОХ, которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта окажется левее точки x (рис.4.3.1.).