8.5.4. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией

Нулевая гипотеза :.

Конкурирующая гипотеза :;

Статистика для проверки: ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где.

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :.

Конкурирующая гипотеза :;

Статистика для проверки: ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где.

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :.

Конкурирующая гипотеза :;

Статистика для проверки: ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения , где.

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Пример 8.4: Из генеральной совокупности извлечена выборка объема ; найдена исправленная выборочная дисперсия. На уровне значимостипроверить гипотезу:, при конкурирующей гипотезе:.

 Критическая область двусторонняя. Находим наблюдаемое значение статистики и правую и левую критические точки:

;

Так как наблюдаемое значение лежит в области принятия гипотезы, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Можно считать, что исправленная выборочная дисперсия незначимо отличается от гипотетической. 

8.5.5 Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемого признака по опытным данным – имеющейся выборке из генеральной совокупности.

Для решения этой задачи надо определить (подобрать) вид и параметры закона распределения. Как правило, это делают при помощи гистограммы или полигона частот, так как эти графические характеристики выступают аналогом функции плотности вероятностей.

Параметры закона распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют точечными оценками, находимыми по выборке.

Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим законом неизбежны расхождения. Для ответа на вопрос: носят ли эти расхождения случайный характер, или являются следствием несоответствия подобранного закона истинному, служат критерии согласия.

Наиболее часто используется критерий согласия Пирсона или -критерий.

В критерии согласия Пирсона проверяется статистическая гипотеза о виде теоретического закона распределения. Сравнивается с критическим значением сумма квадратов отклонений опытного числа попаданий в каждый интервалот теоретического их числа, где- теоретические вероятности попадания вi-й интервал значений изучаемого признака в случае действительной реализации подобранного закона распределения. Вычисляемая статистика сравнивается с критическим значением, где- уровень значимости,- число степеней свободы дисперсии,- число параметров в теоретическом законе распределения. Еслигипотеза принимается.

Пример 8.5. Для примера 1 по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения на уровне значимости .

 Был получен вариационный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87–91	91 – 95	95 – 99	99– 103	103–107	107–111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

и построена гистограмма. Вид гистограммы позволяет предположить, что изучаемый признак распределен нормально. Теоретические значения математического ожидания и среднего квадратического отклонениянеизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими оценками»и.

Для расчета вероятностей попадания признака в интервалы используем таблицы функций Лапласа:

. Теоретические частоты , так:

Для вычисления статистики удобно пользоваться таблицей:

i
1	87–91	4	0,03	3,0	1,0	0,33
2	91 – 95	10	0,08	8,0	4,0	0,25
3	95 – 99	16	0,16	16,0	0,0	0,0
4	99– 103	33	0,18	18,0	225,0	18,12
5	103–107	16	0,22	22,0	36,0	1,63
6	107–111	5	0,2	20,0	225,0	11,25
7	111-115	15	0,15	15,0	0,0	0,0
8	115-119	1	0,02	2,0	1,0	0,25
		100	1,04	104		31,83

Число степеней свободы дисперсии ;

. Так как , то гипотеза о нормальном законе распределения отвергается.