71

4. Распределение дискретных случайных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин

В приложениях теории вероятностей основное значение имеет количественная характеристика эксперимента. Величина, которая может быть количественно определена и которая в результате эксперимента может принимать в зависимости от случая различные значения, называется случайной величиной.

Примеры случайных величин:

1. Число выпадений четного числа очков при десяти бросаниях игральной кости.

2. Число попаданий в мишень стрелком, который производит серию выстрелов.

3. Число осколков разорвавшегося снаряда.

В каждом из приведенных примеров случайная величина может принимать лишь изолированные значения, то есть значения, которые можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел.

Такая случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями, называется дискретной.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы (ряд распределения вероятностей), аналитически и графически (многоугольник распределения вероятностей).

При осуществлении того или иного эксперимента возникает необходимость оценивать изучаемую величину «в среднем». Роль среднего значения случайной величины играет числовая характеристика, называемая математическим ожиданием, которая определяется формулой

где x₁, x₂ ,.. , x_n – значения случайной величины X, а p₁, p₂, ... , p_n – вероятности этих значений (заметим, что p₁ + p₂ +…+ p_n = 1).

Пример. Производится стрельба по мишени (рис. 11).

Рис. 11

Попадание в I дает три очка, в II – два очка, в III – одно очко. Число очков, выбиваемых при одном выстреле одним стрелком, имеет закон распределения вида

Xi	1	2	3
Pi	0,4	0,2	0,4

Для другого стрелка ряд распределения вероятностей имеет вид

Xi	1	2	3
Pi	0,2	0,5	0,3

Для сравнения мастерства стрелков достаточно сравнить средние значения выбиваемых очков, т.е. математические ожидания M(X) и M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Второй стрелок дает в среднем несколько большее число очков, т.е. при многократной стрельбе он будет давать лучший результат.

Отметим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C) = C.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M = (X₁+X₂+…+X_n)=M(X₁)+M(X₂)+…+M(X_n).

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий cомножителей

M(X₁X₂…X_n) = M(X₁)M(X₂)…M(X_n).

4. Математическое отрицание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании (задача 4.6).

M(X) = пр.

Для оценки того, каким образом случайная величина «в среднем» уклоняется от своего математического ожидания, т.е. для того чтобы охарактеризовать разброс значений случайной величины в теории вероятностей служит понятие дисперсии.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения:

D(X) = M[(X - M(X))²].

Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания случайной величины. Из определения видно, что чем меньше дисперсия случайной величины, тем кучнее располагаются её возможные значения около математического ожидания, то есть тем лучше значения случайной величины характеризуются её математическим ожиданием.

Из определения следует, что дисперсия может быть вычислена по формуле

.

Дисперсию удобно вычислять по другой формуле:

D(X) = M(X²) - (M(X))².

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсии слагаемых:

D(X₁+X₂+X₃+…+X_n)=D(X₁)+D(X₂)+…+D(X_n)

4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

В теории вероятностей часто используется числовая характеристика, равная корню квадратному из дисперсии случайной величины. Эта числовая характеристика называется средним квадратным отклонением и обозначается символом

.

Она характеризует примерный размер уклонения случайной величины от её среднего значения и имеет одинаковую со случайной величиной размерность.

4.1. Стрелок проводит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3.

Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение. Число попаданий является дискретной случайной величиной X. Каждому значению x_n случайной величины X отвечает определенная вероятность P_n.

Закон распределения дискретной случайной величины в данном случае можно задать рядом распределения.

В данной задаче Xпринимает значения 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли

,

найдем вероятности возможных значений случайной величины:

Р₃(0) = (0,7)³ = 0,343,

Р₃(1) =0,3(0,7)² = 0,441,

Р₃(2) =(0,3)²0,7 = 0,189,

Р₃(3) = (0,3)³ = 0,027.

Расположив значения случайной величины Xв возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Xn	0	1	2	3
n	0,343	0,441	0,189	0,027

Заметим, что сумма

означает вероятность того, что случайная величина Xпримет хотя бы одно значение из числа возможных, а это событие достоверное, поэтому

.

4.2.В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величинаX– сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величиныX.

Решение. Значениями случайной величиныXявляются 3, 4, 5, 6, 7. Найдем соответствующие вероятности. Значение 3 случайной величиныXможет принимать в единственном случае, когда один из выбранных шаров имеет номер 1, а другой 2. Число всевозможных исходов испытания равно числу сочетаний из четырех (число возможных пар шаров) по два.

По классической формуле вероятности получим

Аналогично,

Р(Х = 4) =Р(Х = 6) =Р(Х = 7) = 1/6.

Сумма 5 может появиться в двух случаях: 1 + 4 и 2 + 3, поэтому

.

Ряд распределения случайной величины Химеет вид:

Xn	3	4	5	6	7
n	1/6	1/6	1/3	1/6	1/6

4.3.Случайная величинаХзадана рядом распределения

Xn	3	5	7	11
Pn	0,14	0,20	0,49	0,17

Найти функцию распределения F(x) случайной величиныXи построить ее график. Вычислить дляXее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Закон распределения случайной величины может быть задан функцией распределения

F(x) = P(X  x).

Функция распределения F(x) – неубывающая, непрерывная слева функция, определенная на всей числовой оси, при этом

F (-)=0,F (+)=1.

Для дискретной случайной величины эта функция выражается формулой

.

Поэтому в данном случае

График функции распределения F(x) представляет собой ступенчатую линию (рис. 12)

	F(x) 1
	0,5
	0	3	5	7	11	x

Рис. 12

Математическое ожидание М(Х) является взвешенной средней арифметической значенийх₁, х₂,……х_n случайной величиныХпри весахρ_1, ρ_2,……,ρ_n и называется средним значением случайной величиныХ. По формуле

М(Х) = х₁ ρ₁ + х₂ ρ₂ + ……+ х_n ρ_n

находим

М(Х) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Дисперсияхарактеризует степень рассеяния значений случайной величины от своего среднего значения и обозначаетсяD(Х):

D(Х) =М[(Х-М(Х))²] = М(Х ²) –[М(Х)]².

Для дискретной случайной величины дисперсия имеет вид

или она может быть вычислена по формуле

.

Подставляя числовые данные задачи в формулу, получим:

М(Х²) = 3² ∙ 0,14+5² ∙ 0,2+7² ∙ 0,49+11² ∙ 0,17 = 50,84

D(Х) = 50,84-6,72² = 5,6816.

4.4.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величиныХ- числа выпадений четного суммарного числа очков на двух игральных костях.

Решение. Введем в рассмотрение случайное событие

А= {на двух костях при одном бросании выпало в сумме четное число очков}.

Используя классическое определение вероятности найдем

Р(А)= ,

где n - число всевозможных исходов испытания находим по правилу

умножения:

n = 6∙6 =36,

m -число благоприятствующих событиюАисходов - равно

m= 3∙6=18.

Таким образом, вероятность успеха в одном испытании равна

ρ = Р(А)=1/2.

Задача решается с применением схемы испытаний Бернулли. Одним испытанием здесь будет бросание двух игральных костей один раз. Число таких испытаний n = 2. Случайная величинаХпринимает значения 0, 1, 2 с вероятностями

Р₂(0) =,Р₂(1) =∙,Р₂(2) =

Искомое биноминальное распределение случайной величины Хможно представить в виде ряда распределения:

хn	0	1	2
ρn

4.5. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить распределение вероятностей дискретной случайной величиныХ– числа стандартных деталей среди отобранных и найти ее математическое ожидание.

Решение. Значениями случайной величиныХявляются числа 0,1,2,3. Ясно, чтоР(Х=0)=0, поскольку нестандартных деталей всего две.

Р (Х=1) ==1/5,

Р (Х=2) = = 3/5,

Р (Х=3) = = 1/5.

Закон распределения случайной величины Х представим в виде ряда распределения:

хn	0	1	2	3
ρn	0	1/5	3/5	1/5

Математическое ожидание

М(Х)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величиныХ- числа появлений событияАвnнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаρ– равно произве-дению числа испытаний на вероятность появления события в одном испыта-нии, то есть доказать, что математическое ожидание биноминального распределения

М(Х) =n^.ρ,

а дисперсия

D(X) =np .

Решение.Случайная величинаХможет принимать значения 0, 1, 2…,n. ВероятностьР(Х = к) находится по формуле Бернулли:

Р(Х=к)=Р_n (к)=ρ^к (1-ρ)^n-к

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

хn	0	1	2	…..	n
ρn	qn	ρqn-1	ρqn-2	……	ρn

где q=1-ρ.

Для математического ожидания имеем выражение:

М(Х)=ρq^n-1 +2 ρ² q^n-2 +…+.n ρⁿ

В случае одного испытания, то есть при n = 1для случайной величиныХ₁–числа появлений событияА- ряд распределения имеет вид:

хn	0	1
ρn	q	Р

Тогда

M(X₁)=0 ∙ q+1 ∙ p = p

D(X₁) = p – p² = p(1-p) = pq.

Если Х_к– число появлений событияАв к-ом испытании, тоР(Х_к)= ρ и

Х=Х₁+Х₂+….+Х_n.

Отсюда получаем

М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+ … +М(Х_n)=nρ,

D(X)=D(X₁)+D(X₂)+ ... +D(X_n)=npq.

4.7.ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величиныХ-числа партий, в каждой из которых окажется равно 4 стандартных изделия – если проверке подлежит 50 партий.

Решение. Вероятность того, что в каждой произвольно выбранной партии окажется 4 стандартных изделия, постоянна; обозначим ее черезρ.Тогда математическое ожидание случайной величиныХ равноМ(Х)=50∙ρ.

Найдем вероятность ρпо формуле Бернулли:

ρ=Р₅(4)== 0,94∙0,1=0,32.

Тогда

М(Х)=50∙0,32=16.

4.8. Бросаются три игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков.

Решение.Можно найти распределение случайной величиныХ- суммы выпавших очков и затем ее математическое ожидание. Однако такой путь слишком громоздок. Проще использовать другой прием, представляя случайную величинуХ, математическое ожидание которой требуется вычислить, в виде суммы нескольких более простых случайных величин, математическое ожидание которых вычислить легче. Если случайная величинаХ_i – это число очков, выпавших наi– й кости (i= 1, 2, 3), то сумма очковХвыразится в виде

Х = Х₁ + Х₂ + Х_3.

Для вычисления математического ожидания исходной случайной величины останется лишь воспользоваться свойством математического ожидании

М (Х₁ + Х₂ + Х₃) = М(Х₁) + М(Х₂) + М(Х₃).

Очевидно, что

Р (Х_i = К)=1/6, К = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i=1, 2, 3.

Следовательно, математическое ожидание случайной величины Х_i имеет вид

М (Х_i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

а значит

М(Х) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если:

а) вероятность отказа для всех приборов одна и та же равна р, а число испытуемых приборов равно n;

б) вероятность отказа для i – го прибора равна p_{i ,} i=1, 2, … , n.

Решение. Пусть случайная величина Х – число отказавших приборов, тогда

Х = Х₁ + Х₂ + … + Х_n,

где

X_i =

Ясно, что

Р(Х_i=1)=Р_i, Р(Х_i=0)=1–Р_i, i=1, 2, …, n.

Так как

М(Х_i)=1∙Р_i+0∙(1–Р_i)=Р_i,

то

М(Х)=М(Х₁)+М(Х₂)+ … +М(Х_n)=Р₁+Р₂+ … +Р_n.

В случае «а» вероятность отказа приборов одна и та же, то есть

Р_i=p, i=1, 2, … , n.

Поэтому

М(Х)=np.

Этот ответ можно было получить сразу, если заметить, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p).

4.10. Две игральные кости бросают одновременно два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадения четного числа очков на двух игральных костях.

Решение. Пусть

А ={выпадение четного числа на первой кости},

В ={выпадение четного числа на второй кости}.

Выпадение четного числа на обеих костях при одном бросании выразится произведением АВ. Тогда

Р (АВ) = Р(А)∙Р(В) = .

Результат второго бросания двух игральных костей не зависит от первого, поэтому применима формула Бернулли при

n = 2, р = 1/4, q = 1 – р = 3/4.

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, вероятность которых найдем по формуле Бернулли:

Р (Х=0) = Р₂ (0) = q ² = 9/16,

Р (Х=1) = Р₂ (1) = С , р∙q = 6/16,

Р (Х=2) = Р₂ (2) = С , р² = 1/16.

Ряд распределения случайной величины Х:

Х	0	1	2
Р	9/16	6/16	1/16

4.11. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой очень малой вероятностью отказа каждого элемента за время t. Найти среднее число отказавших за время t элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Решение. Число отказавших за время t элементов – случайная величина Х, которая распределена по закону Пуассона, поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала. Среднее число появлений события в n испытаниях равно

М (Х) = np.

Поскольку вероятность отказа К элементов из n выражается формулой

Р_n (К) ,

где  = np, то вероятность того, что не откажет ни один элемент за время t получим при К = 0:

Р_n (0) = е^-.

Поэтому вероятность противоположного события – за время t откажет хотя бы один элемент – равна 1 - е^{- }. По условию задачи эта вероятность равна 0,98. Из уравнения

1 - е^- = 0,98,

находим

е^- = 1 – 0,98 = 0,02,

отсюда  = -ln 0,02  4.

Итак, за время t работы устройства откажет в среднем 4 элемента.

4.12. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «двойка». Найти среднее число бросаний.

Решение. Введем случайную величину Х – число испытаний, которое надо произвести, пока интересующее нас событие не наступит. Вероятность того, что Х = 1 равна вероятности того, что при одном бросании кости выпадет «двойка», т.е.

Р(Х=1) = 1/6.

Событие Х = 2 означает, что при первом испытании «двойка» не выпала, а при втором выпала. Вероятность событияХ = 2 находим по правилу умножения вероятностей независимых событий:

Р (Х=2) = (5/6)∙(1/6)

Аналогично,

Р(Х=3) = (5/6)²∙1/6, Р(Х=4) = (5/6)²∙1/6

и т.д. Получим ряд распределения вероятностей:

Х	1	2	3	…	К	…
Р	1/6	5/6∙1/6	(5/6)2∙1/6	…	(5/6)к ∙1/6	…

Среднее число бросаний (испытаний) есть математическое ожидание

М(Х) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6)²∙1/6 + … + К (5/6)^К-1∙1/6 + … =

= 1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6)² + … + К (5/6)^К-1 + …)

Найдем сумму ряда:

Кg ^К-1 = (g^К) _g^ .

Следовательно,

М(Х) = (1/6) (1/ (1 – 5/6)² = 6.

Таким образом, нужно осуществить в среднем 6 бросаний игральной кости до тех пор, пока не выпадет «двойка».

4.13. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение. Число появлений события в трех испытаниях является случайной величиной Х, распределенной по биномиальному закону. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события (задача 4.6)

D(Х) = npq.

По условию n = 3, D(Х) = 0,63, поэтому можно р найти из уравнения

0,63 = 3∙р(1-р),

которое имеет два решения р₁ = 0,7 и р₂ = 0,3.