Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

1.1. Элементы комбинаторики

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий задачи выбора, расположения и упорядочения элементов из данного фиксированного множества М и методы подсчета числа всех возможных способов, которыми это можно сделать.

Основные правила комбинаторики

Рассмотрим фиксированное множество , содержащее п различных элементов.

Правило суммы. Пусть элемент а₁ из множества М можно выбрать числом n₁ способов, элемент а₂ из множества М можно выбрать числом n₂ способов, элемент а_к из множества М можно выбрать числом n_k способов.

Тогда один из элементов множества М ( а₁ , или а₂, или, . . ., или а_к ) можно выбрать числом п₁+ п₂ + . . . + п_к способов.

Пример 1.1. Сколько существует способов приобрести кассовый аппарат, если в продаже есть 5 видов различных кассовых аппаратов производства Японии, 4 – производства США, 3 – производства Англии и 2 – производства Украины.

4Можно приобрести кассовый аппарат производства Японии - это можно сделать числом n₁=5 способов, или производства США – это можно сделать числом n₂=4 способов, или производства Англии – это можно сделать числом n₃ = 3 способов, или производства Украины – это можно сделать числом n₄ =2 способов. Всего способов приобретения кассового аппарата по правилу суммы будет n₁+ n₂ +n₃+n₄=5+4+3+2=14 способов. 3

Правило произведения. Пусть элемент а₁ из множества М можно выбрать числом n₁ способов, элемент а₂. из множества М можно выбрать числом n₂ способов, … элемент а_к из множества М можно выбрать числом n_k способов. Причем, выбор элемента а₁ не влияет на число способов выбора всех последующих элементов, выбор элемента а₂ не влияет на число способов выбора всех последующих элементов и т.д. Тогда все к элементов а₁ ,а_2, … , а_к в указанном порядке можно выбрать числом n₁ …n_k способов.

Пример 1.2. В конкурсе на лучший проект экономического развития некоторой отрасли производства принимают участие 7 коллективов. Сколькими способами могут быть распределены между ними первое, второе и третье места?

4В конкурсе участвуют 7 коллективов, следовательно, первое место может быть распределено n₁=7 способами, второе место ‑ n₂ = 6, третье ‑ n₃ = 5 способами. Тогда, по правилу произведения, число способов распределения призовых мест среди 7 коллективов: n_1∙n₂×n₃=7 ×6 ×5=210.3

Формулы комбинаторики определяют число способов, которыми из множества М, содержащего n элементов, можно выбрать по определенным правилам какую-либо комбинацию k элементов, образующую подмножество М_k исходного множества.

Существуют две разные схемы выбора элементов: без повторений и с повторениями. В схеме выбора без повторений выбор элементов осуществляется без возвращения в исходное множество, т.е. выбранный элемент исключается из множества М и не участвует в дальнейшем выборе. При этом выбор может осуществляться как поэлементно, так и партиями. В схеме выбора с повторениями выбранный элемент фиксируется в подмножестве М_к и возвращается в исходное множество М. Таким образом, в выборе любого элемента подмножества М_k участвуют каждый раз все элементы множества М. Схема такого выбора осуществляется обязательно поэлементно.

Все выборки или подмножества элементов множества М называют соединениями. В соединениях можно учитывать или не учитывать порядок расположения элементов. В зависимости от этого их называют сочетания, размещения и перестановки .

Сочетаниями из n элементов по k называют произвольные неупорядоченные k-элементные подмножества М_k n-элементного множества М. Сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Порядок следования элементов в них не имеет значения.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

. (1.1)

Символом n! (n факториал) обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. n!=1×2×3×…×n; k!=1×2×…×k; (n-k)!=1×2×…×(n-k). Принято считать 0!=1 и 1!=1 . Для числа сочетаний из п элементов по к имеют место соотношения:

; .

Пример 1.3. Предприятие выпускает 25 наименований продукции. Сколько существует способов выбрать 3 различных наименования продукции для презентации на выставке?

4Элементами множества М являются наименования продукции. Выбранные 3 наименования представляют неупорядоченное подмножество М₃. Схема выбора - выбор без повторений. Тогда число способов выбора равно: === =2300.3

Размещениями из n элементов по k называют упорядоченные k-элементные подмножества М_k n-элементного множества М. Отличаются размещения друг от друга и составом элементов, и порядком их следования.

Число размещений из n элементов по k обозначается A_n^k и вычисляется по формуле

=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-k+1) (1.2).

Пример 1.4. Сколько может быть составлено различных трехзначных кодов из десяти цифр от 0 до 9, если цифры в коде не повторяются?

4Код представляет собой упорядоченное 3-элементное подмножество, выбранное из 10-элементного множества М = {0, 1,…, 9}. Число возможных кодов, состоящих из различных цифр, равно

= = == 8×9×10 = 720.3

Перестановками называют размещения, в которых участвуют все элементы множества М. Если в перестановке изменить порядок следования элементов, то получится новая перестановка. Например, перестановками множества М={a,b,c} будут: М={a,b,c}, М={a,c,b}, М={b,a,c}, М={b,c,a}, М={c,a,b}, М={c,b,a}.

Число всех перестановок п-элементного множества обозначается P_n и вычисляется по формуле:

(1.3)

Это число определяет, сколькими способами можно упорядочить множество, состоящее из n элементов.

Пример 1.5. К билетной кассе одновременно подошли 5 человек. Сколько существует способов составить из них очередь?

4Очередь - это упорядоченное множество, число способов составить очередь равно: P₅ = 5! = 1×2×3×4×5 = 120.3

Сочетаниями с повторением из n элементов по k называют k-элементные неупорядоченные подмножества М_k, в которых элементы могут повторяться.

Число сочетаний из n элементов по k с повторением обозначается f_n^k и вычисляется по формуле:

=. (1.4)

Пример1.6. Каждая кость домино представляет собой комбинацию из двух чисел от 0 до 6. Сколько различных костей содержит игра?

4Каждая кость домино состоит из двух полей, точки на поле определяют число, следовательно, кость можно рассматривать как неупорядоченное 2-элементное подмножество М₂, элементы которого выбраны из 7 элементов множества М = {0,1,2,3,4,5,6}. Поля на кости могут определяться и одинаковыми числами, т.е. элементы М₂ могут повторяться. Тогда число различных костей в игре равно:

3

Размещениями с повторением из n элементов по k называют упорядоченное k-элементное подмножество М_k^у, элементы которого могут повторяться. К размещениям с повторением приводит схема выбора с повторением.

Число размещений из n элементов по k с повторением обозначается A_n^k(повт) и вычисляется по формуле

A_n^k(повт) = =n^k. ( 1.5 )

Пример 1.7. Сколько может быть составлено различных трехзначных кодов из десяти цифр от 0 до 9, если цифры в коде могут повторяться?

4Код описывается упорядоченным 3 элементным подмножеством с повторяющимися элементами, составленным из множества М={0,1,…,9}. Число кодов равно: =10³=1000.3

Перестановками с повторением называют различные упорядоченные множества, состоящие из одних и тех же, но отличающихся расположением элементов, причем некоторые элементы множества одинаковы. Например, перестановками множества М={a,а,c,b} будут: М₁={a,а,c,b}, М₂={a,c,а,b}, М₃={с,a,а,b}, М₄={b,c,a,a}, М₅={a,b,c,a}, М₆={a,a,b,c}, М₇={a,b,а,c}, М₈={b,a,а,c}, М₉={c,b,a,a}, М₁₀={a,c,b,a}, М₁₁={b,а,c,a}, М₁₂={c,a,b,а}.

Пусть задано n-элементное множество М, которое содержит k₁ элементов первого типа, k₂ элементов второго типа, …, k_m элементов m-го типа, причем k₁+k₂+…+k_m=n. Число перестановок n-элементного множества с повторением обозначается P_n(k₁,k₂,…,k_m) и вычисляется по формуле:

P_n(k₁,k₂,…,k_m)= . (1.6)

Пример 1.8. Предприятие для маркировки своей продукции использует товарный знак, состоящий из 4 полос, две из которых красного цвета, одна- желтого и одна – синего. Сколько различных товарных знаков может быть составлено с такой маркировкой?

4Товарный знак – это упорядоченное множество, состоящее из 4 элементов, среди которых два повторяются, т.е. имеем n=4, k₁=2, k₂=1, k₃=1. Число N различных товарных знаков будет:

N=P₄(2,1,1)==12.3

Разбиение множества на группы. Разбиением множества на группы называют представление n элементного множества М в виде суммы m попарно непересекающихся подмножеств , (i=), содержащих соответственноk_i элементов, причем k₁+k₂+…+k_m = n. Число способов, которыми М можно разбить на группы , обозначаетсяC_n (k₁,k₂,…,k_m) и вычисляется по формуле:

C_n(k₁,k₂,…,k_m) = . (1.7)

Пример 1.9. Сколькими способами можно расселить в общежитии 8 студентов по 3 комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?

4Здесь n =8, k₁=1, k₂=3, k₃=4. Число способов расселения равно:

C₈(1,3,4) ==5×7×8= 280.3

Задачи

1. Сколько существует способов провести воскресный вечер, если выбирать между посещением театра, дискотеки, ресторана, кинотеатра, считая, что территориально удобно расположены 5 театров, 4 дискотеки, 6 ресторанов и 3 кинотеатра?

Ответ: 18.

2. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

Ответ: 20.

3. У одного студента 5 книг, у другого – 9. Все книги различные. Сколькими способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на одну? б) двух книг на две книги?

Ответ: а) 45; б) 360.

4. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее, если а) подъем и спуск могут происходить и по одной тропинке; б) подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам?

Ответ: а) 25; б) 20.

5. На окружности выбрано 10 точек. а) Сколько можно провести хорд с концами в этих точках? б) Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Ответ: а) 45; б) 120.

6. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?

Ответ: 10.

7. Сколько различных трехцветных полосатых флагов можно сшить, если имеется материал пяти различных цветов?

Ответ: 60.

8. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из 5 языков: украинского, русского, английского, немецкого и французского – на любой другой из этих 5 языков?

Ответ: 20.

9. Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать команду из 6 человек?

Ответ: 210.

10. Сколькими способами можно поставить на библиотечной полке 3 экземпляра учебника по высшей математике, 2 экземпляра учебника по теории вероятностей и один экземпляр учебника по информатике?

Ответ: 60.

11. В команду КВН отбирают 5 игроков из 10 претендентов. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных претендента должны обязательно войти в команду?

Ответ: 56.

12. В течение четырех недель студенты сдают пять экзаменов, в том числе экзамен по теории вероятностей и по информатике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по теории вероятностей и по информатике не следовали друг за другом?

Ответ: 12.

13. Сколько существует способов рассадить 6 посетителей кафе: а) за круглый стол; б) за стойку бара.

Ответ: а) 5!=120; б) 6!=720.

14. Имеется 5 сигнальных фишек различной расцветки для маркировки товаров. Сколько видов товара можно промаркировать, если для маркировки использовать а) 2 фишки из 5; б) 3 фишки из 5; в) 4 фишки из 5; г) различное количество фишек.

Ответ: а) 20; б) 60; в) 120; г) 320.

15. Для маркировки товара имеются сигнальные фишки трех различных цветов, количество фишек каждого цвета не ограничено. Маркировки могут состоять из одной, двух или трех фишек, причем цвет фишек в маркировке может быть и одинаков. Сколько различных маркировок можно составить из имеющихся фишек?

Ответ: 39.

16. Три фининспектора проверяют 6 фирм. Сколькими способами это можно сделать, если проверку одной фирмы производит один инспектор, и каждый инспектор может проверить только две фирмы?

Ответ: = 90.

17. Сколько букв русского алфавита может быть передано азбукой Морзе, состоящей из точек и тире, если для передачи одной буквы отводить а) ровно 4 позиции; б) не более 4 позиций; в) равно 5 позиций.

Ответ: а) 16; б) 30; в) 32.

18. Номер автомобиля состоит из 2-букв латинского алфавита и трехзначного числа. Сколько существует автомобильных номеров?

Ответ: =676000.

19. В учебной группе 25 студентов. Сколько существует способов разбить группу на 3 подгруппы по 7, 8, и 10 человек для проведения лабораторных занятий?

Ответ: .

20. Восемь человек должны сесть в 2 автомобиля, причем в каждом должно быть не менее 3 человек. Сколькими способами они могут это сделать?

Ответ: =126.

21. В соревнованиях на первенство страны по футболу принимают участие 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены между командами золотая, серебряная и бронзовая медали?

Ответ: 1320.

22. Сколько различных шестизначных шифров можно получить, из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, если каждый шифр должен состоять из 3 четных и 3 нечетных цифр, причем никакая цифра не входит в шифр более одного раза?

Ответ: =28 800.

23. Фирма закупила четыре различные партии товара. Сколькими способами можно распределить эти партии среди 12 фирменных магазинов, так, чтобы ни один магазин не получил более одной партии нового товара?

Ответ: =11880.

24. Сколькими способами можно расставить на витрине 9 различных экспонатов так, чтобы рядом стоящими оказались: а) два; б) три; в) четыре определенных экспоната?

Ответ: а) .

25. Сколько существует вариантов опроса 11 студентов на одном занятии, если ни один из них не будет опрошен дважды и на занятии может быть опрошено любое количество студентов, причем порядок опроса безразличен?

Ответ: 2047. (Воспользоваться свойством сочетаний: ).

26. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более пяти, а во второй – не более десяти человек?

Ответ:1573.

27. Сколькими способами 3 различного вида работ Т₁, Т₂, Т₃ можно распределить между 15 исполнителями, если а) никто из исполнителей не должен выполнять более одной работы; б) работу Т₁ должно получить определенное лицо?

Ответ: а) 2730; б) 182.

28. В пригородном электропоезде 9 вагонов. Сколькими способами можно распределить для проверки бригаду из 4 контролеров, если все контролеры должны начать проверку одновременно и в различных вагонах?

Ответ: 3024.

29. В бригаде 9 человек. Сколько можно образовать разных звеньев из состава бригады при условии, что в звено входит не менее двух рабочих.

Ответ:

30. Сколько существует различных идентификационных кодов, состоящих из пяти цифр, если первая цифра не равна нулю?

Ответ:

31. Менеджеру из своего офиса нужно попасть на деловую встречу, посетив при этом предприятие N, затем вернуться в офис, предварительно опять побывав в N. Сколькими способами он может это сделать, если из офиса в N можно попасть тремя путями, а из N в фирму ведут 4 пути?

Ответ: 144.

32. Сколькими способами можно расставить на стоянке 7 различных автомобилей в один ряд, если: два определенных автомобиля а) должны стоять рядом; б) не должны стоять рядом? Ответ: а) 2∙ 6!; б) 5∙6!.

33. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля?

Ответ: 6561.

34. Сколько различных буквосочетаний можно получить из всех букв слова "экономика"?

Ответ: 9!/(2! ∙2!).

35. Сколько различных 10 позиционных кодов можно составить из шести вертикальных и четырех горизонтальных штрихов, если на одну позицию помещать только один штрих?

Ответ:210.

36. Найти число всевозможных буквосочетаний из букв слова: а)"сессия", б)"программирование".

Ответ: а) 6!/3!; б)16!/(3!∙2!∙2!∙2!∙2!);

А сколько таких буквосочетаний, в которых 3 буквы а) "с", б) "р" стоят рядом?

Ответ: а) 4!; б) 14!/(2! ∙2! ∙2! ∙2!).

37. Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно распределить по 3 магазинам, если известно, что в первый магазин должно быть доставлено 8 наименований, во второй – 7 наименований и в третий – 5 наименований товаров?

Ответ:20!/(8!∙7!∙5!).

38. Сколькими способами можно распределить 9 программистов для работы в трех фирмах, если в первую должно быть распределено два, во вторую – три и в третью - четыре программиста?

Ответ: 1260.

39. Абитуриент должен сдать четыре вступительных экзамена. Он полагает, что для поступления достаточно набрать 17 баллов. Сколькими способами он может сдать экзамены, набрав не менее 17 баллов и не получив ни одной двойки?

Ответ: 31.

40. В кошельке лежат по две монеты достоинством в 1, 2, 5, 10 копеек и по одной монете в 25 и 50 копеек. Сколькими способами можно уплатить этими монетами за покупку стоимостью 76 копеек?

Ответ:4.