Глава 5. Наиболее распространенные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

5.1. Биномиальное распределение

СВ Х распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, (5.1)

где 0 < p < 1, q=1 - p, k=0, 1, 2, …, n.

Такая СВ выражает число появлений события А в п независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

Ряд распределения имеет вид:
хi=k	0	1	…	i		n
P(X=k)

А числовые характеристики равны:

D[X]=npq. (5.2)

Пример 5.1. Три конкурирующие фирмы работают независимо друг от друга. Вероятность обанкротиться для каждой из них равна 0.1. Составить закон распределения СВ Х – числа обанкротившихся фирм. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Дискретная СВ X - число обанкротившихся фирм имеет следующие возможные значения: x₁=0 (ни одна фирма не обанкротилась), x₂=1 (обанкротилась одна фирма), x₃=2 (две обанкротились) и x₄=3 (обанкротились все три). Банкротства фирм независимы друг от друга, поэтому применима формула Бернулли ( n=3, k=0, 1, 2, 3; p=0,1, q=1 ‑ 0,1= 0,9 ), следовательно,

P(X=0)=P₃(0)=q³=0,9³=0,729; P(X=1)=P₃(1)=pq²=30,10,9=0,243;

P(X=2)=P₃(2)=p²q=3(0,1)²(0,9)=0,027; P(X=3)=P₃(3)=p³=0,1³=0,001.

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

` Закон распределения Х имеет вид:

хi=k	0	1	2	3
P(X=k)	0,729	0,243	0,027	0,001

M[X]=; D[X]=. 

2. Геометрическое и гипергеометрическое распределения

Дискретная СВ Х подчинена геометрическому распределению, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а соответствующие вероятности можно вычислить по формулам:

(5.3)

где 0 <p <1, q=1 - р.

xi	0	1	2	…	k	…
pi	p	pq	pq2	…	pqk	…

Ряд распределения Х имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

D[X]. (5.4)

СВ Х подчинена гипергеометрическому распределению с параметрами a, b, n, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а, а соответствующие вероятности вычисляются по формулам:

, . (5.5)

(Если в урне а белых и b черных шаров и из нее вынимают n шаров, то СВ Х={число белых шаров среди вынутых} подчиняется гипер-геометрическому закону).

Примечание. В приведенной формуле полагают , если.

Математическое ожидание и дисперсия гипергеометричекого распределения: ,

D. (5.6)

Пример 5.2. В группе 20 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 5 студентов. Найти закон распределения и построить функцию распределения F(x) СВ Х - числа отличников среди отобранных студентов. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение Х.

СВ Х ‑ число отличников среди отобранных студентов ‑ принимает возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

, ,

, ,

, .

=0,05108+0,25524+0,39732+0,23839+0,05418+0,02167=1

Ряд распределения имеет вид:

	0	1	2	3	4	5
	0,05108	0,25524	0,39732	0,23839	0,05418	0,02167

Построим функцию распределения СВ Х:

при х <0 F(x)=0;

0 х <1 F(х)=0,05108;

1 х <2 F(x)=0,05108+0,25542=0,30650;

2 х<3 F(x)=0,05108+0,25542 +0.39732=0,70382.

3 х <4 F(x)= 0,05108+0,25542+0.39732+0,23839=0,94221.

4 х <5 F(x)= 0,05108+0,25542+0.39732+0,23839+0,05418=0,99639.

х  5 F(x)= 0,05108+0,25542+0.39732+0,23839+0,05418+0,02167=1.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение по формулам 5.6. соответственно равны:

M[X]==2; D[X]==1,45;

. 