1.2. Случайные события
Теория вероятностей изучает закономерности массовых, случайных явлений. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события.
Событием называется всякий факт, который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.
Примеры событий: получение прибыли при заключении сделки, отказ технического устройства за время его работы, искажение информации при передаче сообщения, получение качественного или бракованного изделия при его изготовлении.
Достоверным называется событие, которое при испытании обязательно произойдет. Обозначают достоверное событие латинской буквой U.
Невозможным называется событие, которое при испытании заведомо не произойдет. Это событие обозначают буквой V.
Случайным называется событие, которое при испытании может произойти или не произойти. Обозначаются случайные события большими буквами латинского алфавита: A, B, C, . . . .
Равновозможными называются случайные события, которые могут произойти с одинаковой возможностью.
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого. Если появление одного события исключает появление другого, то события несовместны.
Несколько событий называются А1, А2,…, Аn называют попарно несовместными, если появление каждого из них исключает появление любого из остальных.
События А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, и в результате опыта одно из них обязательно произойдет.
1.3. Операции над событиями
Операции над событиями определяют правила действий с событиями и позволяют выражать одни события через другие.
С
уммой
(объединением) событий
А и В называется событие С=А+В
(С=АÈВ),
состоящее в том, что произойдет хотя бы
одно из них ( или А,
или В,
или оба) . На диаграмме (рис 1.2.) событию
С
соответствует заштрихованная область
С, представляющая объединение областей
А и В. Аналогично, суммой нескольких
событий А1,
А2,…,
Аn
называется событие С,
состоящее в том, что произойдет хотя бы
одно из событий Аi,
i=
.
Если события А1,
А2,…,
Аn
образуют полную
группу, то
их сумма равна достоверному событию:
.
П
роизведением
(пересечением) событийА
и В
называется событие С=А×В
(С=АÇВ),
состоящее в совместном появлении событий
А и В. На рис 1.3.а событие С
представлено пересечением областей А
и В.
Если А
и В
– несовместные
события, то
их произведение
- невозможное
событие , т. е. А×В=V
(рис. 1.3.б).
Произведение
событий А1,
А2,…,
Аn
– это событие С, состоящее в совместном
появлении всех событий Аi,
i=
:
С=
.
Произведения попарно несовместных
событийА1,
А2,…,
Аn
– невозможные события: Аi×Аj=V,
для любого i¹j.
П
ротивоположным
событием
для событияА
называется событие, состоящее в том,
что событие А не произошло.
Свойства операций над событиями.
1. Переместительные свойства: А+В=В+А, А·В=В·А.
2. Сочетательные свойства: (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС).
3. Распределительное свойство: А(В+С)=АВ+АС.
4. Из определений операций над событиями следуют свойства:
А+А=А; А+U=U; А+V=А; А·А=А; А·U=А; А·V=V.
5 . Из определения противоположного события следует, что:
А+
=U;
А×
=V;
=А;
=V;
=U;
U+V=U;
U×V=V.