- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1. Элементы комбинаторики
- •Основные правила комбинаторики
- •1.2. Случайные события
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятностей
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятносте.
- •Глава 3. Повторение испытаний
- •3.1. Формула Бернулли
- •3.2. Наивероятнейшее число наступлений события
- •3.3. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона
- •Глава 4. Случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики
- •4.1. Понятие случайной величины
- •4.2. Дискретные случайные величины.
- •Cвойства функции распределения
- •4.4. Плотность распределения вероятностей
- •1); 2); 3);
- •4); 5).
- •4.5. Числовые характеристики случайных величин.
- •Пример 4.6.
- •Глава 5. Наиболее распространенные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики
- •5.1. Биномиальное распределение
- •Геометрическое и гипергеометрическое распределения
- •5.3. Распределение Пуассона
- •5.4. Равномерное распределение
- •5.5. Показательное распределение
- •5.6. Нормальное распределение
- •Глава 6. Системы случайных величин
- •6.1. Закони распределения систем случайных величин.
- •6.2. Числовые характеристики системы случайных величин
- •Для дискретных систем случайных величин
- •Для непрерывных систем случайных величин
- •6.3 Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин
- •Глава 7. Функции одного и двух случайных аргументов
- •7.1. Функции одного случайного аргумента. Законы распределения. Числовые характеристики
- •7.2 Законы распределения функций двух случайных аргументов. Числовые характеристики
- •7.3. Теоремы о числовых характеристиках и их применение
- •Глава 8. Элементы математической статистики
- •8.1. Вариационный ряд. Представление и первоначальная обработка
- •8.2. Графические характеристики выборки
- •8.3. Точечные характеристики выборки (оценки параметров)
- •8.4. Интервальные оценки параметров
- •8.5. Проверка статистических гипотез
- •8.5.1. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей
- •8.5.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Критерий Фишера-Снедекора.
- •8.5.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормально распределенной совокупности
- •8.5.4. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией
- •8.5.5 Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения
- •8.6. Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов
- •Список рекомендованной литературы
- •Продолжение табл. П1
8.5.1. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей
Проверяется гипотеза :, на уровне значимости. Конкурирующая гипотеза:
Статистика для проверки:
;
критическая область выбирается из условия . Если, то гипотезане отвергается (не противоречит имеющимся наблюдениям).
Пример 8.2. Для проверки эффективности рекламной компании отобраны две группы магазинов. В первой, численностью , где проводилась рекламная компания, выборочная средняя составилапроданных изделий, во второй группе, численностью, где рекламная компания не проводилась, выборочная средняяизделий. Установлено, что дисперсии продаж соответственно равны:. Выяснить: повлияла ли рекламная компания на объем продаж?
Нулевая гипотеза :, на уровне значимости. Конкурирующая гипотеза:. Фактическое значение критерия (статистики):
.
Критическое значения критерия находится из условия: . Так как, то нулевая гипотеза отвергается, что свидетельствует о влиянии рекламной компании на объем продаж.
8.5.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Критерий Фишера-Снедекора.
Пусть имеются две нормально распределенных совокупности, дисперсии которых и. Проверяется гипотеза::.
Конкурирующая гипотеза :.
Статистика для проверки:
;
Критическое значение критерия Фишера-Снедекора определяется по таблицам: , где- числа степеней свободы дисперсий. Если, то нет основания отвергнуть нулевую дисперсию.
Пример 8,3. Проверяется точность изготовления детали на двух станках x и y. Извлечены выборки объемами иизделий соответственно. При этом рассчитаны исправленные выборочные дисперсиии. На уровне значимостипроверить нулевую гипотезу:при конкурирующей гипотезе:.
. По таблицам находим:. Так как, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. станки не обеспечивают одинаковую точность.
8.5.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормально распределенной совокупности
а) дисперсия генеральной совокупности известна.
Нулевая гипотеза :.
Конкурирующая гипотеза :;
Статистика для проверки: ;
Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа: .
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза :.
Конкурирующая гипотеза :;
Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа: .
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза :.
Конкурирующая гипотеза :;
Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа: .
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
б) дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
Нулевая гипотеза :.
Конкурирующая гипотеза :;
Статистика для проверки: , гдеимеет распределение Стьюдента сстепенями свободы дисперсии.
Критическое значение критерия определяется по таблицам двусторонних критических точек распределения Стьюдента .
Если , то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза :.
Конкурирующая гипотеза :;
Критическое значение критерия определяется по таблицам право-сторонних критических точек распределения Стьюдента .
Если, ,то нулевая гипотеза не отвергается.
Нулевая гипотеза :.
Конкурирующая гипотеза :;
Критическое значение критерия определяется по таблицам право-сторонних критических точек распределения Стьюдента , но.
Если, ,то нулевая гипотеза не отвергается.
Для примера 8.1 проверим выполнение гипотезы :при конкурирующей гипотезеи уровне значимости
.
, поэтому нулевую гипотезу следует отвергнуть в пользу конкурирующей и признать, что выработка возросла.