8.2. Графические характеристики выборки

Такими характеристиками служат эмпирическая функция распределения, полигон частот (относительных частот) и гистограмма.

Эмпирической функцией распределения называется относительная частота того, что признак (случайная величина Х) примет значение, меньше заданного х, т.е.

Полигон частот – ломаная, концы отрезков которой имеют координаты или- для полигона относительных частот. Полигон частот используется для графического представления простого статистического ряда.

Гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака и высотами. Площадь всей гистограммы равна 1. На рисунке 8.1 изображен полигон частот, на рисунке 8.2 - эмпирическая функция распределения, на рисунке 8.3 – гистограмма для примера 1.

8.3. Точечные характеристики выборки (оценки параметров)

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализации) распределения признака (случайной величины Х). В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения - дифференциальной функции распределения случайной величины Х. Однако построение их достаточно громоздко. В то же время, на практике часто оказывается достаточным знание лишь числовых характеристик случайной величины (признака Х)- математического ожидания, дисперсии и т.д. Но числовые характеристики Х неизвестны и информация о них может быть получена только на основе изучения имеющихся опытных данных – выборки. В математической статистике принято говорить, что некоторые сводные характеристики выборки служат для оценивания (являются оценкой) числовых характеристик генеральной совокупности. Эти характеристики носят название точечных оценок выборки. Расчет их – следующий этап обработки опытных данных.

К точечным оценкам предъявляются требования несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка параметрагенеральной совокупности называетсянесмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

.

Оценка параметра генеральной совокупностиназываетсясостоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

.

Эффективной называется та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию среди других возможных оценок.

Рассмотрим эти оценки.

Выборочная средняя – (аналог математического ожидания с.в.) -средняя арифметическая значений вариант, рассчитанная по значениям вариационного ряда:

(8.3.1),

-варианты простого статистического ряда или середины интервалов вариационного; .

Выборочная дисперсия – (аналог дисперсии с.в.) - средняя арифметическая квадратов отклонения вариант от выборочной средней; служит характеристикой рассеяния вариант относительно выборочной средней:

(8.3.2.).

Выборочная дисперсия не удовлетворяет свойству несмещенности, поэтому вводится также исправленная выборочная дисперсия:

(8.3.3.).

Желательно в качестве меры рассеяния иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и варианты. Поэтому вводится среднее выборочное квадратическое отклонение:

(8.3.4.).

Рассматривается также безразмерная характеристика – коэффициент вариации, который служит для оценки однородности опытных данных:

% (8.3.5.).

Мода – варианта, которой соответствует наибольшая частота;

Медиана – значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда (количество вариант меньшихравно количеству вариант больших).

Для дискретного ряда из нечетного числа членов медиана равна серединной варианте, для ряда из четного числа членов – полусумме двух серединных вариант.

Рассчитаем эти оценки для примера 1.

Выборочная средняя:

а) Для простого вариационного ряда (таблица 1):

б) Для интервального вариационного ряда (таблица 2):

Выборочная дисперсия:

а) Для простого вариационного ряда:

б) Для интервального вариационного ряда;

Исправленная выборочная дисперсия и среднее выборочное квадратическое отклонение:

а) Для простого вариационного ряда:

б) Для интервального вариационного ряда;

Коэффициент вариации:

а) Для простого вариационного ряда:

б) Для интервального вариационного ряда;

Мода и медиана:

а) Для простого вариационного ряда:

б) Для интервального вариационного ряда;

