Глава 6. Системы случайных величин

6.1. Закони распределения систем случайных величин.

Несколько случайных величин, рассматриваемых совместно, образуют систему случайных величин, обозначаемую (X,Y), (X,Y,Z), ... . В дальнейшем рассматриваются системы двух случайных величин (случайные векторы) (Х,Y), где Х, Y – составляющие системы, могут быть дискретными или непрерывными.

Охарактеризовать систему (Х,Y) можно законом ее распределения. Законом распределения (X,Y) называется соотношение, устанавливающее связь между областями ее значений и соответствующими вероятностями. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задается в виде таблицы 1:

Таблица 1

X \ Y			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .

где - вероятность события, заключающегося в совместном выполнении равенств причем.

Интегральная функция распределения вероятностей системы случайных величин (Х,У) определяется:

(6.1)

и геометрически представляет собой вероятность попадания случайной точки с координатами (Х,У) в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке М(х;у), лежащий левее и ниже ее.

Для систем дискретныхслучайных величин интегральная функция распределения:

. (6.2)

Для систем непрерывныхслучайных величин интегральная функция распределения:

, (6.3)

где ‑ плотность распределения вероятностей или дифференциальная функция распределения системы случайных величин(Х,У):

(6.4)

Свойства интегральной функции распределения:

1) .

2) .

3).

4).

Свойства дифференциальной функции распределения

(плотности вероятности):

1)

2)(условие нормировки);

3) ;

4) вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в область D :

. (6.5).

Случайные величины Х и Y являются независимыми, если , гдеF₁(x), F₂(y) – безусловные интегральные функции распределения составляющих системы.

Одномерные плотности вероятностей составляющих системы:

(6.5).

Для системы независимых случайных величин Х и Y двумерная плотность вероятности равна произведению плотностей распределения вероятностей составляющих:

(6.6)

В случае системы дискретных случайных величин можно построить безусловные законы распределения составляющих в виде таблиц 2 и 3.

Таблица 2

			. . .
			. . .

Таблица 3

			. . .
			. . .

Пример 6.1. Передаются два сообщения, каждое из которых может быть независимо друг от друга либо искажено, либо не искажено. Вероятность события А {сообщение искажено} для первого сообщения равна 0,2, для второго - 0,3. Рассматривается система двух случайных величин (Х,У), определяемых так:

Х=0, если первое сообщение не искажено, Р(X=0)=0,8;

X=1, если первое сообщение искажено, Р(X=1)=0,2;

Y=0, если второе сообщение не искажено, Р(Y=0)=0,7;

Y=1, если второе сообщение искажено, Р(Y=1)=0,3;

Найти закон совместного распределения системы (Х,Y).

4 Так как случайные величины, входящие в систему, дискретны, то закон распределения должен быть выражен в виде таблицы 1. Вероятности определятся следующим образом.

; ;; .

Закон распределения системы (Х,У) имеет вид:

\	0	1
0	0,56	0,24	.3
1	0,14	0,06