39

1. Понятие вероятности случайного события

Событием в теории вероятностей называется результат эксперимента.

Случайным событием называется такое событие, появление которого нельзя предсказать заранее. Например, отказ в работе электрической цепи в силу выхода из строя какого-либо элемента есть событие случайное, поскольку в результате испытания оно не обязательно происходит.

Если условия эксперимента позволяют заранее предсказать неизбежность наступления некоторого события, то такое событие называется достоверным, или детерминированным. Например, при бросании монеты, она под действием силы тяжести упадет.

Если же в результате эксперимента событие принципиально не может наступить, то такое событие называется невозможным. Например, уменьшение давления некоторой массы газа при нагревании в неизменном объеме – событие невозможное.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие случайным событиям массового характера и способы их количественного описания, что позволяет предсказывать течение процессов, связанных со случайными явлениями.

Всевозможные результаты испытаний называются элементарными событиями. Совокупность всех элементарных событий обозначается  и называется множеством (или пространством) элементарных событий.

Событием называется любое подмножество множества элементарных событий . Говорят, что в результате испытания осуществилось событие A, если произошло элементарное событие   A. Например, при бросании игральной кости осуществится событие

A = выпадение числа очков, кратного трем,

если произойдет одно из элементарных событий: выпадение «тройки» или выпадение «шестерки».

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно, т.е. наступление одного из них исключает наступление другого.

Случайные события образуют полную группу попарно несовместных событий, если при каждом испытании (эксперименте) непременно должно появиться одно из них.

Несколько событий называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например, из соображений симметрии можно заключить, что выпадение любой грани при бросании игральной кости является равновозможным.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Событие, противоположное событию A, обозначается символом Ā.

Мера возможности наступления события называется его вероятностью. Сравнивая между собой различные события по степени их возможности появления, естественно принять за единицу измерения вероятность достоверного события. Невозможному событию приписывается вероятность, равная нулю. Тогда каждому случайному событию А соответствует определенное число Р(А), удовлетворяющее условию

0  Р(а)  1.

Если множество элементарных событий Ω конечно и состоит из равновозможных несовместных элементарных событий, то про такое испытание говорят, что оно сводится к «схеме случаев». Именно к такой схеме применим классический подсчет вероятностей.

Классическая вероятность события А определяется как отношение количества элементарных событий m, входящих в состав события А, к количеству всех возможных элементарных событий n:

P(A) = m/n.

Элементарные события (исходы), при которых происходит событие A, называются благоприятствующими исходами. Таким образом, вероятность Р(А) вычисляется как отношение числа благоприятствующих событию А исходов к общему числу всевозможных исходов испытания.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Этот недостаток классического определения может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством

.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Р = .

1.1. В двух урнах находятся пронумерованные шары, в одной – 5 белых, в другой – 8 черных. Из каждой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность появления белого шара с четным номером и черного шара с нечетным номером.

Решение. Для нахождения указанной вероятности нужно определить, во-первых, число n всех различных исходов испытания, во вторых, число m благоприятствующих интересующему нас событию исходов (элементарных событий). Эти числа находятся по основному правилу комбинаторики – правилу умножения: если элемент а₁ можно выбрать n₁ способами, а после каждого выбора элемента а₁ следующий элемент а₂ можно выбрать n₂ способами, то оба вместе можно выбрать n₁n₂ способами. Таким образом,

n = 58 = 40, m = 24 = 8.

Из классического определения вероятности следует, что

Р(А) = 8/40 = 1/5.

1.2. В коробке содержится 6 одинаковых занумерованных кубиков. На- удачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Здесь число n всевозможных исходов эксперимента равно числу перестановок

Р₆ = 123456 = 6! = 720,

и только один исход испытания является благоприятствующим. Поэтому

Р(А) = 1/720.

1.3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Пусть событие

А = {набраны три нужные цифры}.

Можно набрать столько троек различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по три. В соответствии с общей формулой

= М(М-1)…(М-К+1),

имеем

n =А = 10  9  8 = 720.

Благоприятствует событию А лишь один исход, поэтому

Р(А) = 1/720.

1.4. Устройство состоит из 100 деталей, одна из которых вышла из строя. Наудачу проверяется 10 деталей. Найти вероятность того, что неисправная деталь будет обнаружена.

Решение. Пространство элементарных событий в этой задаче – это всевозможные наборы 10 деталей из имеющихся 100 деталей. Число всевозможных исходов n равно числу сочетаний из 100 элементов по 10. В соответствии с общей формулой

,

имеем

n = С= 100!/(10!90!).

Рассматриваемое в задаче событие А произойдет, если одна из десяти проверяемых деталей искомая. Тогда остальные 9 деталей можно отобрать способами. Поэтому

Р(А) = С/С = 1/10.

1.5. Устройство состоит из 5 элементов, 2 из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение. Число всевозможных исходов n = С,а число удачных исходов m = С. Поэтому

Р(А) = С/ С = 0,3.

1.6. В партии из N деталей имеется r стандартных. Наудачу отобраны S деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно K стандартных.

Решение. Всевозможных исходов испытания

.

Рассматриваемое в задаче событие А произойдет, если К деталей из S отобранных стандартны. Эти К деталей можно выбрать из имеющихся r деталей способами. С каждым таким набором в числе выбранных должно быть (S-К) нестандартных деталей, которые можно выбрать из имеющихся (N-r) нестандартных деталей способами. Поэтому число благоприятствующих событию А исходов будет

,

а искомая вероятность

.

1.7. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньше l.

Решение. Используется понятие геометрической вероятности. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Вероятность рассматриваемого в задаче события вычисляется по формуле:

Р = (L - l)/L.

1.8. На одной дорожке магнитофонной ленты длинной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй – записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 м до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможны от 0 до 180 метров.

Решение. Обозначим через х и у начала сообщений. Для определенности, будем считать х  у. По условию задачи