0,2  K0  1,2

то есть K₀ = 1.

б) По формуле Бернулли находим:

Р5(1)==50,20,80,41

в) Пусть

В = {отказали хотя бы 4 элемента}.

Это значит, что событие В наступит, если откажут 4 или 5 элементов.

По теореме сложения для несовместимых событий имеем:

Р(В)=Р₅(4)+Р₅(5)==0,0067.

3.10.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,02. Поступило 300 вызовов. Определить вероятность 8 сбоев.

Решение. Это схема Бернулли, поэтому можно найти вероятность по формуле

где n = 300, m = 8, p = 0,02, q =1-p = 0,98.

Подставляя данные в формулу Бернулли, получим

Формула Бернулли при большом числе испытаний оказывается весьма неудобной, поскольку приходится вычислять факториалы больших чисел и большие степени. В таких случаях для упрощения вычислений используется локальная формула Муавра-Лапласа :

_.

Функция протабулирована и ее значения можно найти по таблице (приложение, табл. 4). Подставляя данные задачи в формулы, получим:

3.11.100 конденсаторов подвергаются испытанию на надежность в работе в течениеtчасов. Вероятность выхода из строя за времяt одного конденсатора равна 0,2. Определить наивероятнейшее число вышедших из строя конденсаторов за времяtи соответствующую вероятность этого события.

Решение.Обозначим наивероятнейшее число конденсаторов, которые за времяtвыдут из строя, через. Известно, чтозаключено между двумя числами, отличающимися друг от друга на одну единицу:

,

или

np – q  K₀  np+ p,

причем:

а) если число np - q- дробное, то существует одно наивероятнейшее число;

б) если число np - q- целое, то существуют два наивероятнейших числа, а именно:и;

в) если np- целое, то наивероятнейшее число.

В нашем случае n = 100, p = 0,2, q = 0,8,

поэтому . Таким образом, за времяtвероятнее всего выйдут из строя 20 конденсаторов. Обозначим выход из строя 20 конденсаторов за времяtкак событиеА. Вероятность событияАнайдем по формуле Муавра-Лапласа:

3.12. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найти вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента.

Решение. Это схема Бернулли, причем проводится большое число испытаний (n = 1000), а вероятность появления испытуемого события при единичном испытании мала (p = 0,002). В этом случае формула Муавра–Лапласа дает весьма ощутимые погрешности и не может быть рекомендована для использования. Тогда пользуются асимптотической формулой Пуассона:

где =np.

В нашем случае λ =10000,002 = 2 и.