Поэтому

Р (А) = 1 – Р (Ā) = 1 – 0,98208 = 0,01792.

2.5. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение. Рассматриваются события:

А₁ = срабатывает первый сигнализатор,

А₂ = срабатывает второй сигнализатор,

В = срабатывает только один сигнализатор.

Тогда

В = А₁ Ā₂ + Ā₁ А₂.

По теореме сложения для несовместных событий получаем:

Р (В) = Р (А₁ Ā₂) + Р (Ā₁ А₂).

Далее, так как события А₁ и А₂ независимы, то независимыми будут и события А₁ и Ā₂, а также Ā₁ и А₂. Поэтому

Р(В) = Р(А₁) Р(Ā₂) + Р(Ā₁) Р(А₂) = 0,95  (1 – 0,9) + (1 – 0,9)  0,95 = 0,18.

2.6. Прибор состоит из пяти блоков, соединенных последовательно. Выход из строя каждого блока означает выход из строя прибора в целом. Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна . Найти надежность Р прибора в целом. Какова должна быть надежность ₁ каждого блока для обеспечения заданной надежности Р₁ системы?

Решение. Поскольку прибор работает при безотказной работе всех пяти блоков, то вероятность этого события (надежность прибора Р) равна произведению вероятностей , т.е. Р=⁵.

Для обеспечения заданной надежности Р₁ системы необходимо, чтобы

₁= .

2.7. Для повышения надежности электрического прибора он дублируется другим, точно таким же прибором (рис. 4).

Надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна . При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность системы двух дублирующих друг друга приборов.

Рис. 4

Решение. Отказ системы требует совместного отказа обоих приборов. Надежность системы находится как вероятность события, противоположного тому, что оба прибора одновременно откажут:

Р = 1 – (1–)².

2.8. Электрическая цепь составлена из четырех последовательно соединенных элементов. Разрыв цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один элемент. Вероятность выхода из строя за время t элементов цепи следующие:0,1; 0,2; 0,4; 0,7.

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Решение. Обозначим через А_к событие, заключающееся в том, что выходит из строя к-й элемент (к = 1, 2, 3, 4), а через Ā_к  противоположное событие. Вероятность Р(Ā_к) означает надежность работы к-го элемента.

По условию

Р(А₁) = 0,1; Р(А₁) = 0,2; Р(А₁) = 0,4; Р(А₁) = 0,7.

Тогда

Р(Ā₁) = 0,9; Р(Ā₂) = 0,8; Р(Ā₃) = 0,6; Р(Ā₄) = 0,3.

Разрыва в цепи не будет, если все элементы будут исправны.

Таким образом, надежность работы цепи есть

Р(Ā₁Ā₂Ā₃Ā₄).

Так как события Ā_к независимые, то

Р(Ā₁Ā₂Ā₃Ā₄)= Р(Ā₁) Р(Ā₂) Р(Ā₃) Р(Ā₄).

Подставляя данные задачи, получим

Р(Ā₁ Ā₂ Ā₃ Ā₄)=0,9 · 0,8 · 0,6 · 0,3  0,13.

Обозначив через А событие, заключающиеся в том, что произошел разрыв цепи за время t , найдем его вероятность:

Р(А)= 1  Р(Ā₁Ā₂Ā₃Ā₄),

то есть

Р(А) = 1 - 0,13 = 0,87.

2.9. Измерительное устройство состоит из двух приборов. Вероятность безотказной работы каждого прибора за рассматриваемый период времени равна 1 - _к (к = 1,2).

Оценить вероятность Р того, что оба прибора будут работать:

а) если поломки происходят независимо;

б) если ничего неизвестно о зависимости между поломками этих приборов.

Решение. а) введем обозначения:

А = оба прибора будут работать,

А_к= каждый прибор работает безотказно.

Тогда А=А₁А₂, и в силу независимости событий А₁ и А₂ получим:

Р(А) = Р(А₁)(А₂) = (1-₁)(1-₂).

б) Если 1-_к = Р(А_к), то вероятность того, что прибор выйдет из строя будет Р(А_к) = _к. Воспользуемся свойством операций над событиями

и выразим вероятность события

в виде

Р() = Р(Ā₁+Ā₂) = Р(Ā₁)+Р(Ā₂) − Р(Ā₁Ā₂).

Поскольку Р(Ā₁Ā₂)0, то

Р(А)= 1 - Р(Ā)1-₁-₂.

2.10. Электрическая цепь составлена по схеме (рис. 5). Вероятность выхода из строя для каждого элемента цепи равна 0,01. Найти вероятность того, что в цепи произойдет разрыв.

а)

б)

в)

Рис. 5

Решение. Примем следующие обозначения:

А_к = {элемент с номером к вышел из строя},

В = {в цепи произошел разрыв}.

а) В = А₁ + А₂ + А₃ + А₄ + А₅.

Для нахождения вероятности события В удобнее найти сначала вероятность противоположного события

В = {разрыва в цепи нет}.

Поскольку

В =А₁(А₂+А₃)А₄А₅,

и события А_к независимы, то по теореме умножения получим

Р() = Р(Ā₁)Р(Ā₁+Ā₃)Р(Ā₄)Р(Ā₅)

Поскольку события А₁ и А₃ совместные и независимые, то

Р(А₁+Ā₃)=Р(Ā₁)+Р(Ā₃)-Р(Ā₁)Р(Ā₂).

Зная вероятность события А_к, найдем вероятность противоположного события:

Р() = 1−Р(А_к) = 1-0,1 = 0,9.

Подсчитаем вероятность того, что разрыва в цепи нет:

Р() = 0,9(0,9+0,9-0,90,9)0,90,9 = 0,72.

Тогда вероятность разрыва Р(В) = 1-0,72=0,28.

б) В = А₁А₂ + А₃ + А₄А₅.