3. Формула полной вероятности. Формула бейеса. Формула бернулли

Если события

,

образуют полную группу попарно не совместных событий и известно, что событие Аможет произойти в месте с одним из этих событий, то событиеАможно представить как сумму

Вероятность события Аможно определить по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

.

Эта формула называется формулой полной вероятности. СобытияВ_i называютсягипотезами, поскольку неизвестно заранее, какое из событийВ_iнаступит.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Как изменилось (в связи с тем, что событиеА уже наступило) вероятность гипотезВ_i? Ответ на этот вопрос дает формула Бейеса:

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятность гипотез после того как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Испытания, при которых вероятность появления события Ав каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, называются независимыми относительно событияА.

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаp (0 < p < 1), событие наступит ровноkраз (безразлично в какой последовательности), можно вычислить по формуле Бернулли:

где

В связи с тем что вероятности P_n (k) по форме представляют собой члены разложения бинома (q+p), распределение вероятностей такого вида называетсябиномиальным распределением.

3.1.Электрический прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаях работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за времяtв нормальном режиме равна 0,1, а в ненормальном – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за времяt.

Решение. Введем следующие обозначения:

А=прибор вышел из строя за времяt,

В₁=прибор работал в нормальном режиме,

В₂=прибор работал в ненормальном режиме.

События B₁иB₂несовместные и образуют полную группу событий, вместе с одним из которых происходит событиеА.Вероятность событияА найдем по формуле полной вероятности:

3.2.Электрический прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов (рис. 10) и может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надежность каждого из узлов равнаp₁, в неблагоприятномp₂. Вероятность того, что прибор будет работать в благоприятном режиме, равнаP₁, в неблагоприятном 1 –P₁.Найти полную (среднюю) надежность прибора.

Рис. 10

Решение.Прибор будет работать, если хотя бы один из узлов работает.

Введем обозначения:

А=прибор работает,

В₁=прибор работает в благоприятном режиме,

В₂=прибор работает в неблагоприятном режиме.

По условию задачи

По формуле полной вероятности получим:

Р(А) =Р(В₁)Р(А/В₁)+Р(В₂)Р(А/В₂).

Вероятности

Р(А/В₁) и Р(А/В₂),

найдем как вероятности событий, противоположных тому, что оба узла отказали одновременно:

Р(А/В₁) = 1(1-р₁)²,

Р(А/В₂) = 1(1-р₂)².

Тогда полная надежность прибора будет равна

3.3. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1; 20 деталей  на заводе № 2; 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов № 2 и № 3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,8. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь отличного качества.

Решение. Введем обозначения:

А={извлеченная деталь имеет отличное качество},

В_k={извлеченная деталь изготовлена заводом № k} для k = 1, 2, 3.

События В₁, В₂, В₃ образуют полную группу. Событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В₁, В₂, В₃. Вероятность события А можно найти по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)+Р(В3)Р(А/В3).

События Вk называются гипотезами. Поскольку в ящике всего 50 деталей, то

Р(В1) = 12/50, Р(В2) = 20/50, Р(В3) = 18/50.