Здесь также удобнее найти вероятность события

В = {разрыва в цепи нет}.

Поскольку

В = (Ā₁ + Ā₂) Ā₃ (Ā₄ + Ā₅),

то применяя теоремы умножения и сложения вероятностей, получаем:

Р() = (0,9+0,90,90,9)  0,9  (0,9+0,90,90,9) = 0,88.

Тогда вероятность разрыва Р(В) = 10,88 = 0,12.

в) В = А₁ (А₂+А₃)(А₄+А₅+А₆).

По теореме умножения для независимых событий имеем:

Р(В)=Р(А₁)Р(А₂+А₃)Р(А₄+А₅+А₆).

По теореме сложения для совместных, независимых событий имеем:

Р(А₂+А₃) = Р(А₂)+Р(А₃)Р(А₂)Р(А₃)=0,1+0,10,00,1 = 0,19.

Р(А₄+А₅+А₆) = Р(А₄)+Р(А₅)+Р(А₆)Р(А₄А₅)Р(А₄А₆)Р(А₅А₆)+

+Р(А₄А₅А₆) = 0,1+0,1+0,1-0,10,1-0,10,1-0,10,1+0,10,10,1 = 0,271.

Заметим, что эту вероятность можно найти и иначе:

Р(А₄+А₅+А₆) = 1−Р(А₄ А₅ А₆) = 1 - 0,9 = 0,271.

Окончательно имеем:

Р(В) = 0,1  0,19  0,271 = 0,005.

2.11. Электрическая цепь составлена из элементов с номерами к = 1, 2, 3, 4, 5 по схеме, приведенной на рис. 6. При выходе из строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя за данный период элемента, с номером к равна ρ_к, к = 1, 2, 3, 4, 5. Предполагается, что элементы выходят или не выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность события

С=за рассматриваемый период по цепи может проходить ток.

Решение. Выразим событие С в алгебре событий

А_к=элемент с номером к выходит из строя:

С=Ā₅ (Ā₃+Ā₄ (Ā₄+Ā₂))

Поскольку Р(А_к)= р_к, то Р(Ак)=1- р_к= q_к.

1

4

2

5

3

Рис. 6

События А_к являются независимыми, поэтому

Р(С) = Р(Ā₅) Р(Ā₃+Ā₄ (Ā₁+Ā₂))

События Ā₁ и Ā₂ являются совместными (два элемента могут одновременно выйти из строя), поэтому

Р(Ā₁+Ā₂)= Р(Ā₁)+Р(Ā₂)-Р(Ā₁Ā₂)= q₁+ q₂ -q₁ q_2.

События Ā₃ и Ā₄ (Ā₁+Ā₂) также являются совместными, поэтому

Р(Ā₃+Ā₄ (Ā₁+Ā₂))=Р(Ā₃)+Р(Ā₄ (Ā₁+Ā₂)) - Р(Ā₃Ā₄ (Ā₁+Ā₂))=

=Р(Ā₃)+Р(Ā ₄)Р(Ā₁+Ā₂)-Р(Ā₃)·Р(Ā₄)·Р(Ā₁+Ā₂)=

= q₃+ q₄ (q₁+q₂ - q₁ q₂)- q₃ q₄ (q₁+q₂ - q₁ q₂)=

= q₃+ (q₁+q₂ - q₁q₂)(q₄ - q₃q₄)=

= q₃+(q₁ (1-q₂)+q₂) q₄ (1-q₃) = q₃+ (q₁ р₂ +q₂)q₄ р₃.

Окончательно имеем

Р(C)= q₅ (q₃+(q₁р₂ +q₂ )q₄ р₃).

2.12. Найти вероятность того, что в цепи, изображенной на рис. 7, лампочка будет гореть (т.е. цепь будет замкнута), если известно, что любой из переключателей 1, 2, 3 и 4 независимо от других с одинаковой вероятностью может быть замкнут или разомкнут.

1 2

3

4

Батарея Лампа

Рис. 7

Решение. Рассмотрим события

А_i = {i-й переключатель замкнут}, i = 1, 2, 3, 4,

В = {лампочка горит}.

Требуется найти вероятность P(B). Заметим, что из теории электрических цепей следует:

B = A₁A₂ + A₃ + A₄

Воспользуемся формулой для вероятности суммы трех событий

P(B) = P(A₁A₂) + P(A₃) + P(A₄) – P(A₁A₂A₃) –

 P(A₁A₂A₄) – P(A₃A₄) + P(A₁A₂A₃A₄).

В силу независимости событий A_i имеем

P(A₁A₂)= P(A₁)P(A₂)=,

так как по условию P(A_i)= для всех i =1, 2, 3, 4.

Аналогично,

P(A₁A₂A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃)=,

P(A₁A₂A₄)=, P(A₃A₄)=, P(A₁ A₂A₃A₄)=,

Поэтому

P(B) = .

2.13. Найти вероятность того, что в задаче 2.12 оба переключателя 1 и 2 замкнуты, если известно, что лампочка горит.

Решение. Требуется вычислить условную вероятность (см. обозначения в решении задачи 2.12):

P(A₁A₂/B) = P(A₁A₂/(A₁A₂+A₃+A₄)) =

==.