0  Х  180, 0  у  180.

Для получения непрерывной записи необходимо выполнение условия

х-у  20.

Интервал записи должен быть не менее 25 м, следовательно

х-у  5.

Для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85 метров должно быть

у  60 и у  85-40 = 45, а также х  80 и х  85-20 = 65.

Введем прямоугольную систему координат Оху и изобразим геометрически область изменения х и у (рис. 1). Пространством элементарных событий является треугольник

(х,у): x  у, 0  х  180, 0  у  180.

Его площадь

S = 180²/2 = 16200.

у = х - 5

y у = х - 20

180 В

60

45

А х

О 65 80 180

Рис. 1

Событие А представлено на рис. 1 заштрихованной областью, площадь которой

S = 15²/2 = 112,5.

Вероятность события А равна вероятности того, что точка, случайным образом выбранная в треугольнике ОАВ, окажется в заштрихованной области. Предполагается, что вероятность попадания точки в эту область пропорциональна площади области и не зависит от ее расположения. Тогда искомая вероятность является отношением площадей:

Р(А) = s/S = 112,5/16200  0,007.

1.9. Игра состоит в том, что игрок бросает монету на поверхность стола, разграфленную на квадраты, стороны которых больше диаметра монеты.

Найти вероятность того, что:

а) монета целиком попадает внутрь одного квадрата;

б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.

Решение. Обозначим сторону квадрата через а, диаметр монеты через 2r (2r  а). Тогда пространством элементарных событий будет множество точек квадрата

(х, у), 0  х, у  а,

где (х, у) – координаты центра монеты относительно того квадрата, которому принадлежит центр монеты. Обозначим события, вероятности которых надо найти, через А и В. Геометрически им соответствуют заштрихованные на рис. 2 фигуры, а и б соответственно:

у

a

а-r

r

0 a x

Рис. 2, а

у

а

а-r

r

0 x

a

Рис. 2, б

Поэтому

Р(А) = (а-2r)²/а², Р(В) = (а²-4r²)/а².

1.10. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение. Обозначим через x и y момент времени прихода первого и второго студента соответственно. Тогда квадрат

{(x, y) , 0  x, y  1}

будет соответствовать пространству элементарных событий. Встреча состоится, если

|x – y|  .

Вероятность того, что встреча состоится, равна вероятности того, что случайным образом выбранная точка квадрата принадлежит заштрихованной области (рис. 3).

Эта вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади квадрата:

.

1

4

0 1 1 x

4

Рис. 3