2. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении или события А или события В, или обоих вместе.

Произведением событий называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А меняется в зависимости от того, произошло или не произошло событие В. По известным вероятностям одних событий можно определить вероятность других событий в соответствии с основными теоремами.

I. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

II. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ).

III. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А) ∙ Р(В).

IV. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Р(АВ)=Р(А) ∙ Р(В/А),

где Р(В/А)  вероятность появления события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А, которое называется условной вероятностью события В. Условие независимости события В от события А можно записать в виде

Р(В/А) = Р(В).

Поскольку противоположные события А и образуют полную группу несовместных событий, т.е.

А+= , А= ,

то

Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā)=Р()=1.

Полученная формула дает возможность найти вероятность события А, если известна вероятность противоположного события Ā

Р(А)=1Р(Ā).

Теоремы сложения и умножения вероятностей обобщаются на случай произвольного числа событий.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+...+А_n) = P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n).

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А₁А₂ ... А_n)=P(A₁)P(A₂) ... P(A_n).

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А₁А₂ ... А_n)=

=P(A₁)  Р(А₂/А₁)  Р(A₃/A₁A₂) ... Р(А_n /A₁ ... A _n-1).

2.1. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Решение. Рассмотрим три способа решения этой задачи.

1 способ. Введем в рассмотрение следующие события:

А = хотя бы одна деталь окрашена,

В = одна деталь окрашена,

С = две детали окрашены.

Тогда в соответствии с алгеброй событий

А = В + С,

причем В и С – несовместные события, (т.е. не могут произойти в одном испытании). В этом случае

Р(А)=Р(В) + Р(С).

Вероятность того, что среди выбранных двух деталей одна окажется окрашенной, вычислим непосредственно по формуле

Р (В) = m / n, где m = 4  6 = 24, n = С= 45.

Вероятность события С тоже найдем непосредственно:

Р (С) = m / n,

где m = С = 6, n = С = 45.

Таким образом,

Р(А) = (24 / 45) + (6 / 45) = 2 / 3.

2 способ. Событие, противоположное событию А, обозначим Ā. События А и Ā образуют полную группу событий (т.е. одно из них обязательно произойдет в результате испытания). В силу этого

Р (А) + Р (Ā) = 1.

Вероятность события

Ā = обе детали не окрашены

найдем непосредственно:

Р (Ā) = m / n, где m = = 15,n = = 45.

Тогда Р(А) = 1 – (15 / 45) = 2 / 3.

3 способ. Рассмотрим события

А₁ = 1-я выбранная деталь окрашена,

А₂ = 2-я выбранная деталь окрашена.

Тогда

А = А₁ + А₂,

где А₁ и А₂ совместные события, (т.е. могут произойти в одном испытании). В этом случае

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁ А₂),

Р(А₁ А₂) = Р(А₁) Р(А₂/А₁),

где Р(А₂/А₁) – это вероятность события А₂ при условии, что событие А₁ произошло (условная вероятность). Непосредственно подсчитаем

Р(А₁) = 4 / 10, Р (А₂ / А₁) = 3 / 9.

Тогда

Р(А) = (2/5) +(2/5) – (2/5)  (1/3) = 2/3.

2.2. На интервале времени длительностью Т в одном и только в одном из 4 фиксированных положений возникает импульс. В соответствии с результатами многократных испытаний вероятности возникновения импульса в первой, второй и третьей позициях приняты равными соответственно 0,24, 0,25, 0,23. Определить вероятность возникновения импульса в четвертой позиции.

Решение. Обозначим случайные события  возникновение импульса в 1, 2, 3 и 4 позициях  соответственно А₁, А₂, А₃, А₄. Так как возникает только один импульс, то события А₁, А₂, А₃, А₄ несовместные и образуют полную группу, ибо появление импульса в одной из позиций  явление достоверное. Из этого следует, что:

Р(А₁+А₂+А₃+А₄)=Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)+Р(А₄)=1.

Откуда

Р(А₄)=1-  Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃).

Подставляя данные задачи, получаем

Р(А₄)=1- (0,24 + 0,25 + 0,23) = 0,28.

2.3. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Решение. Задачу можно решать двумя способами.

1 способ. Применяется классическое определение вероятности

Р(А) = m/n,

где m = С= 10, n = С = 4950, то есть Р(А) = (1 / 495).

2 способ. Рассмотрим события:

А₁ = 1-й взятый билет - выигрышный,

А₂ = 2-й взятый билет - выигрышный ,

А = оба билета выигрышные.

Тогда А = А₁ ∙ А₂ и по теореме умножения

Р (А) = Р(А₁) ∙ Р (А₂ / А₁).

Применяя теперь классическое определение вероятности, найдем, что

Р(А₁) = (5/100) = (1/20) и Р (А₂/А₁) = (4/99).

Поэтому Р (А) = (4/99)  (1/20) = 1/495.

2.4. Над изготовлением изделия работают последовательно два автомата. Качество изделия при передаче следующему не проверяется. Первый автомат допускает брак с вероятностью р₁ = 0,01, второй – с вероятностью р₂ = 0,008. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак.

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи.

1 способ: Пусть

А₁ = 1-й автомат допустил брак,

А₂ = 2-й автомат допустил брак,

А = изготовлено бракованное изделие.

Тогда А = А₁ + А₂, причем события А₁ и А₂ совместные, поэтому

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁ А₂).

События А₁ и А₂ независимые, поэтому

Р(А₁ А₂) = Р(А₁) Р(А₂) = р₁  р₂ = 0,00008.

Р(А) = р₁ + р₂ – р₁ ∙ р₂ = 0,01 + 0,008 – 0,00008 = 0,01792.

2 способ: Рассмотрим событие

Ā = изготовленное изделие доброкачественное.

Поскольку.

Ā = Ā₁ Ā₂,

и события Ā₁ и Ā₂ независимые, то

P(Ā) = (1 – р₁)(1 – р₂) = (1 – 0,01)(1 – 0,008) = 0,98208.