Здесь мы воспользовались тем, что

A₁A₂ + A₁A₂A₃ + A₁A₂A₄ = A₁A₂,

очевидно, что имеют место соотношения

A₁A₂A₃ A₁A₂ и A₁A₂A₄ A₁A_2.

2.14. Работа прибора прекратилась вследствие выхода из строя одной лампы из общего числа N ламп. Отыскание этой лампы производится путем поочередной проверки каждой лампы. Определить вероятность того, что придется проверять n ламп, если вероятности выхода из строя каждой лампы одинаковы.

Решение. Введем в рассмотрение события

А_к= {выбрана бракованная лампа при к-й проверке}.

Тогда искомая вероятность р определится по формуле

Р = Р(Ā₁Ā₂···Ā_n1Ā_n)=Р(Ā₁)·Р(Ā₁/Ā₂)·Р(Ā₃/Ā₁Ā₂)···Р(Ā_n /Ā₁Ā₂···Ā_{n -1}))

Вычисляя вероятность в правой части равенства по формуле классической вероятности, получим:

2.15. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна р₁. При повышенном напряжении вероятность аварии прибора-потребителя электрического тока  равна р₂. Определить вероятность аварии прибора вследствие повышения напряжения.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что напряжение в цепи превысило номинальное, а событие В означает, что произошла авария. Тогда вероятность аварии прибора вследствие повышения напряжения определится как вероятность проведения событий:

Р(АВ)=Р(А)РВ/А)= р₁ р₂.

2.16. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, приведенной на рис. 8.

М N

Рис. 8

Различные элементы цепи выходят из строя независимо один от другого. Вероятности выхода из строя за время T элементов цепи следующие:

элемент K₁ K₂ Л₁ Л₂ Л₃

вероятность 0,1 0,2 0,4 0,7 0,5

Определить вероятность прерывания питания за указанный промежуток времени.

Решение. Рассмотрим события

A_i={за время T выйдет из строя элемент К_i}, i = 1,2

B_i={за время T выйдет из строя элемент Л_i}, i = 1,2,3

Пусть

B=B₁B₂B₃,

и событие , вероятность которого нужно найти, обозначим через С:

С = {за время T в цепи между точками M и N наступит перерыв питания}.

Требуется найти P(C):

P(C)=P(A₁+A₂+B)=

=P(A₁)+P(A₂)+P(B)P(A₁A₂)P(A₁B)P(A₂B)+P(A₁A₂B).

По условию задачи, а также в силу независимости A_i и B_j получаем:

P(A₁) = 0,1;

P(A₂) = 0,2;

P(B)=P(B₁)P(B₂)P(B₃)=0,4∙0,7·0,5=0,14;

P(А₁А₂)=P(А₁)P(А₂)=0,

P(А₁А₂В)=P(А₁)P(А₂)P(B)=0,0028;

P(А₁В)=P(А₁)P(B)=0,014;

P(А₂B)=P(А₂)P(B)=0,028;

Поэтому

P(C)=0,3808.

2.17. Надежностью некоторой системы называется вероятность того, что система в течение установленного времени будет работать без отказов. Электрическая цепь состоит из: а) параллельно, б) последовательно соединенных сопротивлений Z₁, Z₂, …, Z_к. Надежность каждого сопротивления равна Р_i. Определить надежность цепи.

Решение. Пусть

А={цепь безотказно работает установленное время}.

а) А_i = {i-е сопротивление безотказно работает установленное время},

Р(А_i)=Р_i, Р(А_i)=1Р_i.

Цепь выходит из строя, если все сопротивления выходят из строя, т.е.

По теореме умножения

Р() =(1Рi),

где i = 1, 2,…, k. Тогда искомая вероятность равна

Р(А) = 1(1Р_i).

Заметим, что это вероятность того, что хотя бы одно из соединенных сопротивлений Z_i работает исправно. С увеличением числа параллельно включенных элементов надежность системы возрастает (т.к. (1-Р_i) < 1).

б) При последовательном включении цепь работает безотказно только при безотказной работе всех сопротивлений, т.е.

А=А₁А₂…А_К, Р(А)=.

С увеличением числа последовательно соединенных элементов надежность системы уменьшается (т.к. Р_i < 1).

2.18. Техническая система состоит из n блоков, надежность каждого равна p. Выход из строя хотя бы одного блока приводит к поломке всей системы. С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще n таких же блоков (рис. 9). Какой из двух способов дублирования более выгоден:

1

1

2

2

n

n

а)

1

1

2

2

n

n

б)

Рис. 9

Решение. Определим надежность системы

а) Пусть

А = {блок работает безотказно в установленное время},

Р(А) = p.

Пусть

В = {безотказно работает параллельное соединение двух блоков},

тогда

.

Пусть

С = {безотказно работает система},

тогда

.

Теперь определим надежность системы

б) Пусть

D = {цепь работает безотказно – 1-2-…-n},

тогда Р(D) = . Если

Е = {система работает безотказно},

то

.

Сравним надежность систем, т.е. Р(С) и Р(Е): поскольку р < 1, то

,

т.е. Р(С) > Р(Е) и схема а) предпочтительнее.