Глава 3. Повторение испытаний

3.1. Формула Бернулли

Пусть опыт состоит в проведении серии испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностьюР(А)=р или не произойти с вероятностью Р() = 1 - Р(А) = 1 ‑ р = q. Если результат каждого испытания не зависит от исхода других, то испытания называются независимыми повторными испытаниями. Событие А называют простым событием. Событие ‑ появление простого события А ровно раз внезависимых испытаниях ‑ называют сложным событием и обозначают .

Опыт, удовлетворяющий перечисленным условиям, называют схемой испытаний Бернулли или схемой независимых испытаний.

Цель опыта: определить вероятность сложного события , заключающегося в том, что внезависимых испытаниях простое событиеА появится ровно раз и не появитсяраз.

Эта вероятность определяется формулой Бернулли:

, (3.1)

где ‑ биномиальные коэффициенты.

Всего сложных вероятностей в схеме испытаний Бернулли всегда .

Сумма сложных вероятностей равна сумме вероятностей полной группы попарно несовместных событий и описывает вероятность достоверного события, равную единице:

. (3.2)

Вероятность того, что в испытаниях простое событие А наступит не менее и не болеераз, равно сумме вероятностей сложных событий:

= =++…+=. (3.3)

Соответственно, вероятности того, что в испытаниях простое событие А наступит:

1) менее раз

= =++…+=;

2) более раз

= =++…+=;

3) не менее раз

= =++ …+=;

4) не более раз

= =++…+=.

Пример 3.1. Вероятность того, что в течение рабочего дня произойдет сбой в поставке сырья на производство, равна 0.8. Определить вероятности того, что в течение рабочей недели (5 дней):

1. три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья;

2. сбой в поставках будет в трех рабочих днях;

3. сбой будет менее чем в трех рабочих днях;

4. сбой будет не более чем в одном рабочем дне;

5. сбоя в поставках не будет ни разу;

6. сбой будет хотя бы в одном рабочем дне;

7. сбой будет не менее чем в одном и не более чем в трех рабочих днях.

Простое событие А = {нет сбоя в поставках сырья в течение одного рабочего дня}, Р(А)=р=0.8. Противоположное событие ={произошел сбой в поставках сырья в течение рабочего дня},

Р() = 1‑р = q = 0.2.

1) Сложное событие В={ровно три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья}, его вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Р(В) = ===0.2048

2) Событие С= {сбой в поставках будет в трех рабочих днях},

Р(С) = = =0.0512

3) Событие D= {сбой в поставках будет менее чем в трех рабочих днях} равно сумме сложных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}. Эти события несовместны, поэтому:

P(D) = ++= =

= ++= 0.512(0.64+0.8+0.4) = 0.94208.

4) Событие F= {сбой в поставках будет не более чем в одном рабочем дне} состоит из суммы двух несовместных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне} и его вероятность:

Р(F)= + ==

= += 0.32768+0.4096 = 0.73728.

5) Событие Е={сбоя поставок не будет ни в одном рабочем дне},

Р(Е)= ==0.8⁵ =0.32768.

6) Событие G={сбой в поставках будет хотя бы в одном рабочем дне} является противоположным сложному событию Е= {сбоя не будет ни в одном дне}.

Р(G) =1‑Р(Е) = 1‑0.32768 =0.67232.

7) Событие K={сбой в поставках будет не менее, чем одном, и не более, чем в трех рабочих днях}, состоит из суммы трех несовместных сложных событий: {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}, {сбой будет в трех днях}:

Р(К) = + + = =++=0.8²0.25(0.64+20.80.2+20.04)== 0.641.04=0.6656. 