8.4. Интервальные оценки параметров

Выборка, полученная из генеральной совокупности, содержит n значений признака - случайной величины Х. Найденные значения точечных характеристик в свою очередь будут случайными величинами, меняющимися от выборки к выборке. Однако они используются для оценки неслучайных числовых параметров генеральной совокупности – математического ожидания (генеральной средней) и дисперсии (генеральной дисперсии). С этим обстоятельством связана необходимость ввести в рассмотрение понятия интервальных оценок параметров – оценок, определяемых двумя числами, границами некоторого интервала.

Интервальной оценкой какого-либо оцениваемого параметра служит доверительный интервал.

Доверительный интервал – интервал со случайными границами, вычисляемыми по выборке, который с заданной исследователем (доверительной) вероятностью «накрывает» оцениваемый параметр. Как правило, выбирается симметричный интервал относительно .

Пусть исследуемый признак распределен в соответствии с нормальным законом распределения.

Интервальная оценка для генеральной средней:

а) при известной среднеквадратической ошибке измерения:

(8.4.1.),

где - генеральная средняя (математическое ожидание);- известное среднее квадратическое отклонение; n - объем выборки; t определяется из условия , где- функция Лапласа, заданная таблично; - доверительная вероятность, назначаемая исследователем.

б) при неизвестной среднеквадратической ошибке

(8.4.2.),

где s - среднее выборочное квадратическое отклонение; - табулированная функция, построенная на основе распределения Стьюдента.

Интервальная оценка для генеральной дисперсии:

(8.4.3.),

где D – генеральная дисперсия k =n-1 или k=n-m; - квантили- распределения, зависящие отk доверительной вероятности .

Интервальная оценка для генерального среднего квадратического отклонения:

(8..4.4)

где - генеральное среднее квадратическое отклонение, - таблично заданная функция.

Подсчитаем интервальные оценки параметров для примера 8.1.

Зададимся доверительной вероятностью . Так как истинное значениенеизвестно, то доверительный интервал длягенерального среднего рассчитаем по формуле (8.4.2)

По таблице находим: . Тогда

или .

Доверительный интервал для генеральной дисперсии в соответствии с формулой (8.4.3.) : ; тогда

, или .

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения в соответствии с формулой (8.4.4.): по таблицам . Тогда, или.

8.5. Проверка статистических гипотез

В основе понятия статистической гипотезы лежит принцип практической уверенности: если вероятность события А очень мала, то при однократном проведении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, будто событие А вообще невозможно.

Вопрос о конкретной величине вероятности события А решает исследователь.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают . Наряду с нулевой рассматривают альтернативную,конкурирующую гипотезу , являющуюся логическим отрицанием. Правило, по которому гипотезапринимается или отвергается, называетсястатистическим критерием.

Вероятность допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу, когда она верна, называетсяуровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу , когда она неверна, обычно обозначают. Вероятностьназываютмощностью статистического критерия.

По своему содержанию статистические гипотезы подразделяются на основные следующие типы:

• О равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

• О числовых значениях параметров;

• О законе распределения;

• Об однородности выборок, т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две совокупности, генеральные средние которых соответственно и, дисперсии известны и равны соответственнои. Из этих совокупностей взяты независимые выборки объемамиипо которым найдены выборочные средниеи, и выборочные дисперсии. В этом случае могут проверяться следующие статистические гипотезы.