Глава 8. Элементы математической статистики

Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных – сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак.

В математической статистике изучаются две основные задачи:

- указать способы сбора и группировки статистических сведений (данных), полученных в результате наблюдений или поставленных экспериментов (здесь не рассматриваются);

- разработать методы анализа статистических данных в зависимости от поставленных целей исследования.

С математической статистикой тесно связаны такие науки как планирование эксперимента, последовательный анализ данных, регрессионный анализ, эконометрика и ряд других. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Генеральная и выборочная совокупность.

Вся совокупность объектов, изучаемая относительно некоторого количественного признака Х (случайной величины) называется генеральной совокупностью. Количество объектов в ней может быть и не известно.

Любое количество объектов, каким-либо образом отобранных из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Полное количество членов в любой из совокупностей называется ее объемом.

8.1. Вариационный ряд. Представление и первоначальная обработка

Различные значения признака Х, обозначаемые называютсявариантами. Выборка, упорядоченная по возрастанию и оформленная в виде таблицы (см. таблицу 1) называетсяпростым статистическим рядом. Если объем выборки значителен, а повторяемость вариант небольшая, то весь объем выборки разбивают на части – интервалы. В результате получается ряд интервалов – вариационный ряд (таблица 2). При этом фиксируется только факт попадания варианты в конкретный интервал. Количество интервалов m рекомендуется выбирать в соответствии с формулой Стерджеса:

,

а ширину интервала - , где- разность между наибольшей и наименьшей вариантами, аn – объем выборки.

Пример 8,1. Изучается выработка на одного рабочего предприятия в текущем году, взятая в процентах по отношению к прошлому году. Пусть из генеральной совокупности (общего числа сотрудников) сделана выборка объемом n=100. Получены следующие данные:

X={101, 98, 110, 111, 100, 97, 102, 89, 94, 101, 113, 95, 90, 92, 89, 102, 100, 93, 116, 96, 106, 105, 98, 101, 112, 97, 101, 104, 97, 100, 100,112, 103, 109, 94, 94, 94, 101, 96, 100, 97, 102, 89, 100,112, 102, 100, 94, 104, 99, 110, 111, 101, 100, 101, 103, 99, 94, 101, 98, 111, 111, 102, 101, 111, 96, 103, 104, 97, 99, 100, 100,112, 103, 109, 94, 113, 96, 106, 105, 98, 101, 111, 97, 101, 106, 97, 100, 107,112, 113, 96, 106, 105, 98, 101, 112, 97, 101, 104,}.

Требуется построить статистические ряды.

Расположим признак в порядке возрастания вариант.

X={89, 89, 89, 90, 92, 93, 94, 94, 94,94, 94, 94, 94, 95, 96, 96, 96, 96, 96, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 97, 98, 98, 98, 98, 98, 99, 99, 99, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 101, 101, 101, 101, 101, 101, 101 101, 101, 101, 101, 101, 101, 102, 102, 102, 102, 102, 103, 103, 103, 103, 104, 104, 104, 104, 105, 105, 105, 106, 106, 106, 106, 107, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 111, 111, 111, 111, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 113, 113, 113, 116}.

Подсчитаем количество повторяющихся вариант и построим простой статистический ряд в виде таблицы 1:

Таблица 1.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
	89	90	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	109
	3	1	1	1	7	1	5	8	5	3	11	13	5	4	4	3	4	1	2

i	20	21	22	23	24
	110	111	112	113	116
	2	6	6	3	1

Здесь - количество появлений значения признака (варианты)в выборке. Очевидно, что .

Учитывая, что в большинстве случаев каждое значение варианты встречается редко, 1–3 раза, перейдем к вариационному интервальному ряду.

; примем: (%).

За начало первого интервала рекомендуется брать величину В данном случае. Сгруппированный вариационный ряд представляется в виде таблицы 2:

Таблица 2.

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87–91	91 – 95	95 – 99	99– 103	103–107	107–111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

Числа , показывающие, сколько раз встретиласьi-тая варианта, называются частотами, а отношения их к общему числу вариант – частностями илиотносительными частотами.