Глава 7. Функции одного и двух случайных аргументов

7.1. Функции одного случайного аргумента. Законы распределения. Числовые характеристики

Случайную величину Y называют функцией случайного аргумента X и записывают , если каждому значениюX поставлено в соответствие некоторое значение Y. Возникает вопрос о нахождении закона распределения и числовых характеристик У по известному закону распределения Х.

Если X - дискретная случайная величина и функциональная зависимость монотонна, то различным значениям X будут соответствовать различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений будут одинаковы. Т.е. если x_i - возможные значения X, а - полученные значенияY, то и закон распределения У имеет вид:

У= (х)	у= ( х)	у= (х)	…	у= (х)	…	у= (х)
Р(Y=уi)	р	р	…	р	…	р

Если же зависимость немонотонна, то различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y. В таких случаях для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех значений X, при которых Y принимает одинаковые значения и расположить все значения в порядке возрастания.

Если X - непрерывная случайная величина, заданная дифференциальной функцией и функциональная зависимостьстрого монотонна, то дифференциальная функция определяется равенством

(7.1)

где х= - обратная функция для функции .

В случае немонотонной зависимости на множестве измененияX, следует разбить это множество на такие интервалы, в которых сохраняет монотонность, найти в соответствии с формулой (7.1)на каждом из этих интервалов и представитьв виде суммы:

.

При известном законе распределения функции случайного аргумента определение числовых характеристик производится обычным способом:

для дискретных Х для непрерывных Х

; ;

; ;

Однако иможно получить, не определяя предварительно закон распределения функции. Рассмотрим примеры.

Пример 7.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	2	3	4	5
Р	0,3	0,2	0,4	0,1

Найти закон распределения функции .

 Составляем таблицу:

У=5(X-2)2+3	3	8	23	48
Р(Y=уi)	0,3	0,2	0,4	0,1

Так как все полученные значения у_i различны и расположены в возрастающем порядке, эта таблица выражает закон распределения функции .

Пример 7.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	-1	0	1	2	3
Р	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Найти закон распределения функции .

 Составляем таблицу:

.	0	-1	0	3	8
Р(У=уi)	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Здесь есть два одинаковых значения у=0, им следует отвести один столбец, соответствующие вероятности сложить и расположить столбцы в порядке возрастания у_i . Закон распределения У имеет вид:

У=Х2-1	-1	0	3	8
Р(Y=уi)	0,1	0,5	0,2	0,2	. 

Пример 7.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей . Найти дифференциальную функцию случайной величины.

 Поскольку функциональная зависимость монотонна на всей числовой оси, пользуемся готовой формулой, где- обратная функция для функции; ;

, ,

итак, 

Пример 7.4. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией . Найти дифференциальную функцию распределенияслучайной величины.

 Функция на интервалене является монотонной. Разобьем этот интервал на две частии, в каждой из которых функция сохраняет монотонность. В интервале, обратная функция есть, в интервале-. Найдемиз равенства:

.

Производные обратных функций соответственно равны:

, ,

и .

Так как Х принимает значения в интервале , то. Таким образом,

.

Контроль:.

Пример 7.5. Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Х	0	1	3	3
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Воспользуемся формулами, не вычисляя предварительно закон распределения случайной величины У:

==

=;

.

Пример 7.6. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением: . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Воспользуемся формулами для вычисления математического ожидания и дисперсии функции непрерывного случайного аргумента Х, не находя предварительно закона распределения случайной величины У:

;

